()
由于
n
→
∞
等价于
xn
→
0,
所以
lim
n→∞
xn+1 xn
sin
1 xn 2
a 故，a (
= lim
x→0
= 0; sin x )
x
1 x2
=
e−
1 6
第二部分 导数、微分
{
17．设 f (x) =
xλ
cos
1 x
,
0,
取值范围.
x ̸= 0 x=0
, 其导函数在 x = 0 处连续, 求 λ 的
(D) g(x) 在 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关.
【解】(D)
12．设函数 f (x) =
1
x
,则
e x−1 −1
(A) x = 0, x = 1 都是 f (x) 的第一类间断点.
(B) x = 0, x = 1 都是 f (x) 的第二类间断点.
(C) x = 0 是 f (x) 的第一类间断点, x = 1 是f (x) 的第二类间断点.
=
arctan ex + 0.5 ln(e−2x + 1),
所以：y′
=
ex 1+e2x
+
0.5
−2e−2x e−2x +1
=
ex −1 1+e2x
,
故：dy
dx
|x=1
=
e−1 1+e2
20．设函数 y = f (x) 由方程 xy + 2Inx = y4 所确定, 则曲线 y = f (x) 在
(cos
x
−
b)
=
5，则
a
=
,b=
.
【解】a = 1; b = −{4 6. 设函数 f (x) =
, 1−etan x
arcsin
x 2
x>0
在 x = 0 处连续，则 a =
.
ae2x,
x≤0
【解】a = −2
7. 设有两个数列 {an}, {bn}，若 lim an = 0，则（ ）
n→∞
(A)当 ∑∞ bn 收敛时，∑∞ anbn 收敛.
n=1
n=1
(B)当 ∑∞ bn 发散时，∑∞ anbn 发散.
n=1
n=1
1
(C)当 ∑∞ |bn| 收敛时，∑∞ a2nb2n 收敛.
n=1
n=1
(D)当 ∑∞ |bn| 发散时，∑∞ a2nb2n 发散.
n=1
n=1
【解】(C)
8.
设 {an} , {bn} , {cn} 均为非负数列,
且
lim
求该曲线上对应于
θ
=
π 6
处
的切线与法线的直角坐标方程.
【解】因为r = 1 − cos θ,得：参数方程为
4
{
{
x = (1 − cos θ) cos θ 即： x = cos θ − cos2 θ
y = (1 − cos θ) sin θ
|x=1=
.
【解】1)y = (1+sin x)x = ex ln(1+sin x), 所以 y′ = ex ln(1+sin x)(ln(1+sin x)+
x cos x 1+sin x
).
故：dy|x=π
= y′|x√=πdx
=
−πdx
2)y = arctan ex − ln
e2x e2x +1
−lne1√1−x+√x∼x .−(√C)(x；√√1 1++√√x)nx−−1.1
(D) 1 − cos √
∼ 0.5 x; 1
√ x
− cos
√ x
∼
0.5x
4.
设常数
a ̸=
1 ，则
2
lim In
n→∞
n−2na+1 n(1−2a)
=
.
【解】 1
1−2a
5.
若
lim
x→0
sin x ex −a
n→∞
an
=
0, lim
n→∞
bn
=
1, lim
n→∞
cn
=
∞, 则必有
(A) an < bn 对任意 n 成立.
(C) 极限
lim
n→∞
an
cn
不存在.
【解】(D)
(B) bn < cn 对任意 n 成立.
(D) 极限
lim
n→∞
bn
cn
不存在.
9．设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内单调有界，{xn} 为数列，下列命题正确 的是（）
x→0
x→0
6)
lim (
x→0
1+x 1−e−x
−
1 x
)
=
lim
x→0
e−x +x+x2 −1 (1−e−x )x
=
7) 3.
x当li→m0xx→1l−n(c10o++s xx)时=，xl与i→m0√0.xx5xx等2 =价0的.5无穷小量是
√
(A) 1 − e x. (B) 【解】(B) 因为 1
存在，则函数
g(x)
=
f (x) x
(A) x = 0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x = 0.
(C) x = 0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x = 0
【解】(D)
23．设函数 f (x) = x3 − 1 φ(x), 其中 φ(x) 在 x = 1 处连续, 则 φ(1) = 0
则 a，b=
【解】f
(x)
=
x
−
sin
ax
=
x
−
(ax)
+
1 3!
(ax)3
+
o(x3);
g(x)
=
x2
ln(1
−
bx)
=
bx3 + o(x3), 所以, a = 1，b = −1/6
2.【解】
1
1) lim (cos x) = e = e = √e , ln(1+x2)
lim
x→0
ln(cos x ln(1+x2 )
【解】因为−2 ≤ x < 0, 则0 ≤ x + 2 < 2, 所以f (x) = kf (x + 2) =
kf (x + 2)((x + 2)2 − 4),又f (0) = 0, f+′ (0) = −4, f−′ (0) = 8k,故:k = −0.5
28．已知曲线的极坐标方程是
r
=
1 − cos θ,
是 f (x) 在 x = 1 可导的
(A) 充要条件. (B) 必要但非充分条件.
(C) 充分但非必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
【解】(A)
√
24．设函数 f (x) = lim n 1 + |x|3n, 则 f (x) 在 (−∞, +∞) 内
n→∞
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(A) 若 {xn} 收敛，则 {f (xn)} 收敛.
(B) 若 {xn} 单调，则 {f (xn)} 收敛.
(C) 若 {f (xn)} 收敛，则 {xn} 收敛
(D) 若 {f (xn)} 单调，则 {xn} 收敛.
【解】(B)
10．设
0
<
x1
<
3,xn+1
=
√ xn(3
−
xn)
(n = 1, 2, · · · ), 证明 {xn} 的极
此极限为 1.5
11．设 f (x) 在 (−∞, +∞) 内有定义，且 lim f (x) = a，
{
x→∞
g(x) =
f
(
1 x
),
x ̸= 0
则
0, x = 0
(A) x = 0 必是 g(x) 的第一类间断点.
(B) x = 0 必是 g(x) 的第二类间断点.
(C) x = 0 必是 g(x) 的连续点.
【解】(A)
26．设函数 f (x) 在 (0, +∞) 上具有二阶导数，且 f ′′(x) > 0. 令 u n =
f (n)(n = 1, 2, · · · , ),
则下列结论正确的是：
(A) 若 u1 > u2，则 {un} 必收敛. (B) 若 u1 > u2，则 {un} 必发散. (C) 若 u1 < u2，则 {un} 必收敛. (D) 若 u1 < u2，则 {un} 必发散. 【解】(D)
27．设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 上有定义, 在区间 [0, 2] 上,f (x) = x(x2−4),
若对任意的 x 都满足 f (x) = kf (x + 2), 其中 k 为常数. 写出 f (x) 在 [−2, 0)
上的表达式; (2) 问 k 为何值时,f (x) 在 x = 0 处可导.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
【解】(C) 分别是：1，-1
25．设函数 f (u) 可导, y = f (x2) 当自变量 x 在 x = −1 处取得增量
∆x = −0.1 时, 相应的函数增量 ∆y 的线性主部为 0.1, 则 f ′(1) = .