泰勒公式及应用论文 Prepared on 22 November 2020毕业论文题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣学生学号： 05 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届指导教师：向伟目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)前言： (1)1泰勒公式 (2)带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2)带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2)带有积分型余项的泰勒公式 (2)带有柯西型余项的泰勒公式 (3)2 泰勒公式的应用 (3)利用泰勒公式求极限 (3)利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5)利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8)利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11)研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12)结语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)泰勒公式及应用学生：陆连荣指导教师：向伟淮南师范学院数学与计算科学系摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。

关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性Taylor formula and its applicationStudent: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal University Abstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 判断级数及积分的敛散性, 求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个不等式及中值公式与求解导数这几个方面的具体应用方法。

1 泰勒公式带有拉格朗日余项的泰勒公式如果函数)(x f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的∈0,x x ],[b a ，至少存在一点∈ξ),(b a ，使得:它的余项为)10)((,)()!1()()(0010)1(<<-+=-+=++θθξξx x x x x n f x R n n n ,称为拉格朗日余项。

当=0x 0时，得到泰勒公式：称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。

带有佩亚诺型余项的泰勒公式如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内存在直至n 阶导数,则对此邻域内的点x 有： 当=0x 0时，上式称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式。

带有积分型余项的泰勒公式如果函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有1+n 阶导数,令∈x )(0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 和x 之间至少存在一个t 使得：dtt x t f n x x n x f x x x f x x x f x f x f n xx n n n ))((!1)(!)(...)(!2)())(()()(0)1(00)(200''00'0-+-++-+-+=⎰+其中dt t x t f n nxxn ))((!10)1(-⎰+就是泰勒公式的积分型余项。

带有柯西型余项的泰勒公式如果函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内具有1+n 阶导数,令∈x )(0x U ,则对该邻域内异于0x 的任意点有： 当=0x 0时，又有10,)1)((!1)(11≤≤-=++θθθn n n n x x f n x R )2(其中)1(,)2(都称为泰勒公式的柯西型余项。

2 泰勒公式的应用 利用泰勒公式求极限应用泰勒公式求极限时,常用到的展开式有：)1()(!...!212n nxx o n x x x e +++++=； )2()()!12()1(...!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=--； )3()()!2()1(...!4!21cos 12242++-+++-=n n n x o n x x x x ； )4()()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-+++-=+-； )5()(!)1)...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα；)6()( (111)2n n x o x x x x+++++=-；上述展开式中的符号)(nxo 表示当0→x 时,它是一个较n x 高阶的无穷小,亦即有:0)(lim 0=→nn x x x o ;根据这个定义容易验证:当0→x 时有: )1()()()(n n n x o x o x o =+)0(>n ；)2()()()(nnmx o x o x o =±)0(>>n m ；)3()()()(n m n m x o x o x o +=⋅)0,(>n m ； )4()()(n m n m x o x o x +=⋅)0,(>n m ； )5()()(n n x o x o C =⋅)0,0(>≠n C 。

例1 求4202cos limx e x x x -→的极限。

分析：此为0型极限，若用罗比塔法则很麻烦。

这时可将x cos 和22x e分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式。

解:利用展开式:)(2421cos 542x o xx x ++-=，)(82154222x o x x e x ++-=-,由此可得:)(12cos 5422x o x e x x +-=--，所以:121)(121lim cos lim45404202-=+-=-→-→x x o x x e x x x x 。

例2 求极限20211lim xx x x --++→。

分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。

若使用泰勒公式可以将问题大大简化。

解：将x +1、x -1在=x 0点的麦克劳林公式展开到2x 项得：)(821122x o x x x +-+=+， )(821122x o xx x +--=-， 则原式=20)11()11(lim x x x x --+-+→=222220)](8121[)](8121[lim xx o x x x o x x x +--++-→ =41)(8181lim 22220-=+--→x x o x x x 。

例3 求极限xxx 4sin tan lim0→。

解：由于)0(4~4sin ),0(~tan →→x x x x x x ，从而有414lim 4sin tan lim 00==→→x x x x x x 。

总结：用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。

我们知道，当0→x 时，x x x x →→tan ,sin 等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。

利用泰勒公式证明不等式及中值问题如果函数)(x f 的二阶及二阶以上导数存在且有界则用泰勒公式去证明这些不等式。

例1 设1>α，证明当1->x 时成立x x αα+>+1)1(,且等号仅当=x 0时成立。

证明：α)1()(x x f +=在),1(∞-上二阶可导，且有ααα=+==-)0(,)1()(;1)0('1'f x x f f ；以及 2'')1)(1()(-+-=αααx x f ；于是，对)(x f 应用在=x 0处的带拉格朗日余项的泰勒公式得：1,)1(!2)1(1)1(22->+-++=+-x x x x x ααθααα，注意到上式最后一项是非负的且仅当=x 0时为0.所以1,1)1(->+≥+x x x αα，且等号仅当=x 0时成立。

例2 设函数)(x f 在]1,0[上二次可微，且0)1()0(==f f ，1)(min 100-=≤≤x f ，试证：存在一点)1,0(∈ξ，使8)(''≥ξf 。

分析：)(x f 在]1,0[上二次可微，且最小值01≠-，所以在)1,0(内一定有极值点，该点的导数为0，题中可知)(x f 二次可微，从这点我们可以想到使用泰勒公式，而要证明的结论中右边是一个常数，故选在最小值点0x 处泰勒展开。