⎛ ⎜⎝
Tm 2T
⎞ ⎟⎠
+
1 ⎤⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
if T ≤ Tm 2
(6)
其中 Q0 是激活能， R 是气体常数， Tm 是熔点。
背应力的演化方程采用Armstrong–Frederick[14]形式：
τ&b = cγ&α − dτ b γ&α
(7)
其中 c 和 d 是材料常数，分别表示直接硬化系数和动态热回复系数。
各向异性。损伤演化的各向异性依赖于应力张量的主方向。该损伤模型适用于中温（<900℃）下拉 伸蠕变，在高温低应力作用下，则应该考虑筏化的影响。
当应力张量由有效应力张量代替时，本构方程变为：
τ& − Ω e ⋅ τ
+τ ⋅Ωe
+
τ ⋅ D& D I − DD
=(I
− DD ) ⋅ E : De
（27）
化规律最终可以写为：
∑ D& D
=
4
S
: YD
=
⎛ ⎜
I
⊗
I
+
(1− γ D
)
4
I
⎞ ⎟:
3
B
σ%i
u (ni ⊗ ni )
⎝
⎠ i=0
（26）
4
其中， B ， u 和 γ D 是材料参数， I 是四阶等同张量。这里需要指出的是， γ D 是
损伤演化过程中关于各向异性度的表征：当 γ D = 1时，表示完全各向同性；当 γ D = 0 时，表示完全
入 γ ' 沉淀相以及孔洞的产生[19]，从而导致了强度的降低，可与通过引入一个损伤张量来描述这种强
度的降低。在高温情况下（>900℃），筏化现象比较明显，需要考虑筏化效应对合金蠕变性质的影响， 但是在温度不太高时，沉淀相的形态比较稳定，不会发生明显的筏化效应。
各向异性损伤模型是通过有效应力张量的概念来描述的。在单轴拉伸情况下，简化为各向同性 损伤，损伤因子由减小的截面积与初始横截面积的比率来表征。因此，有效应力可以通过一个标量 状态变量刻画：
sgn(τ
α
-τ
α b
)
(4)
其中 γ&0 是参考剪切应变率，n 控制幂律蠕变状态，B0 和 n 合起来控制高应变率状态下的非幂律行为，
符号函数
sgn(τ
α
-τ
α b
)
表示塑性滑移方向与真实位错驱动力方向一致。
τ
α v
是第 α
滑移系的有效应
力：
τ
α v
=
τα
−
τ
α b
− κα
G G0
(5)
其中
τ
α b
镍基合金在外加应力和温度的共同作用下，γ ' 沉淀相的形态从初始的立方颗粒形状沿某个方向
转化为片状或棒状，这种现象称为筏化。早在 1967 年Webster和Sullivan[7]就报道了这种筏化现象， 此后有大量的实验研究、理论模型和数值计算来定性或定量的解释这种微结构的演化[8, 9]。Fredhol m[8]通过数值和实验研究表明，根据晶格错配度的不同，镍基单晶合金在<001>方向受到应力和温度
α cb
是非Schmid剪切应力[15]，反映非Schmid效应，
h
pe
,
hse
,
hcb
是依赖温度的材料常数。
κ
α 0
(T
)
反映温度引起的固定位错的形核机制，
κ
α e
反映了工作硬化的度量。
2.2 考虑尺寸效应
为了反映尺寸效应，需要引入几何必须位错密度张量。首先根据协调条件：
( ) ( ) CurlF = Curl F eF p = 0 ， CurlF −1 = Curl F p−1F e−1 = 0
载荷时，γ / γ ' 相将会产生两种不同形式的定向筏化/粗化：N（normal）型筏化：立方形沉淀相颗粒
沿着垂直于外加应力轴的方向筏化；P（parallel）型筏化：立方形沉淀相颗粒沿着平行于外加应力轴 的方向筏化。
文献中有大量关于镍基合金的蠕变的实验数据，但是筏化效应对镍基单晶合金蠕变性能的影响
基于晶体塑性理论的镍基合金力学行为研究
聂君锋 由小川 庄茁
（清华大学航天航空学院，北京 100084）
摘要 镍基合金具有优良的高温力学性能，广泛应用于涡轮叶片等热端部件。沉淀相的尺寸和形态是影响 镍基合金力学性能的重要因素。本文在考虑应变梯度的镍基合金晶体塑性本构模型的基础上，引入了各向 异性损伤张量，研究了包含两种不同尺寸和三种不同长细比的沉淀相形态的镍基合金蠕变行为。结果表明， 该模型能够很好地反映沉淀相的尺寸对镍基合金蠕变行为的影响，与实验结果符合较好。同时，沉淀相的 形态也对镍基合金的力学性能产生重要影响，随着沉淀相长细比的增加，镍基合金的蠕变寿命延长，这体 现了粗化和形态对镍基合金蠕变行为影响的一种竞争的机制。 关键词 镍基合金，尺寸效应，形态，晶体塑性，应变梯度，蠕变
（21）
其中，σ 和σ% 分别表示应力张量和有效应力张量， I 表示二阶单位张量。
与损伤张量相联系的一个简单的双耗散势函数表示如下：
ΦD
=
1 2 YD
:
4
S
: YD
（22）
4
这里 S 是四阶的结构张量，YD 表示与损伤演化相联系的热驱动力。因此，损伤演化规律可以表示为：
D& D
=
∂ΦD ∂Y D
=
4
在传统的晶体塑性理论中，由统计存储位错所产生的滑移阻力
κ
α S
的演化方程为：
κ
α S
=
κ
α
0
+
κ
α e
∑ ∑ κ&eα = h0 N qαβ γ&β − hκs N γ&β − hs κ α − κth rs
(19)
β =1
β =1
其中
κ
α e
的初始值为零：
κ
α e
(0)
=
0
。
2.3 考虑蠕变损伤
镍基合金第一阶段的蠕变由流动法则中的应变率敏感和背应力演化相结合来描述，第二阶段蠕 变则由内变量演化中的静态热回复项控制。对于第三阶段的描述，有多种理论，一般归因于位错切
σ% =σ A Aω
=
F
A (1 − ω )
σ =
1−ω
（20）
其中 F 表示单轴拉伸的应力， ω 是损伤变量，A 和 Aω 分别是初始和变形过程中的横截面积。
在多轴应力状态下，有效应力可以通过二阶的对称损伤张量 DD 来表示，其具体形式由Ohno[20]给
出：
( ) σ%
=1 2
σ ⋅ ( I − DD )−1 + ( I − DD )−1 ⋅σ
S
: YD
（23）
其中：
4
S
=
⎛ ⎜
I
⊗
I
+
(1− γ D
)
4
I
⎞ ⎟
⎝
⎠
（24）
3
∑ YD = B σ% u = B σ%i u (ni ⊗ ni )
i=1
（25）
这里损伤演化的驱动力的形式YD 由Feng等[21]给出，其物理意义是，假设材料实际 承载面积的减小是由于垂直于拉伸主应力方向的平面上的孔洞的形成造成的。σ%i 和 ni 分 别表示应力张量的第i个特征值（主应力）和特征向量， ⋅ 是MaCauley符号。则损伤演
还没有统一的定论。例如，Pearson等[10]和Mackey等[11]认为镍基单晶中 γ ' 相的粗化会增加蠕变阻力， 筏化形态形成后将会阻碍位错滑移机制，此时位错对 γ ' 沉淀相颗粒的剪切机制将占主导地位，而这 种机制是最慢的回复过程，从而增加了蠕变阻力。Kondo等[12]在研究 γ ' 相预先筏化的形态对CMSX4 合金的蠕变行为的影响时发现，随着 γ 基体通道的宽度增加，位错线的曲率半径减小，从而导致
κ
α S
= αμb
ρSα ，那么
( ) κ
α T
= κ0
κ
α S
/ κ0
2 + lηGα
(17)
其中， κ0 是参考滑移阻力， l 是内禀长度：
l = α 2μ2b
κ
2 0
(18)
对于镍基合金基体相而言，Burgers矢量的模 b 一般为 4.07×10-10m，850℃时的剪切 模量约为 95.6GPa，参考滑移阻力约为 275.0MPa，取材料参数α 为 0.1 时，则内禀材料 尺度l为微米量级，与MSG理论是一致的[17, 18]。.
(2)
α =1
其中， γ&α 为塑性滑移率， sα 和 mα 分别为为第α 滑移系的滑移方向和滑移面的法向。
定义 Schmid 分解剪应力：
τα = τ : Pα
(3)
则第α 滑移系的剪切应变率可表示为[13]：
γ&α = γ&0Θ(T )
τ
α v
Dα
n⎛
exp
⎜ ⎜⎝
B0
τ
α v
Dα
n+1 ⎞
⎟ ⎟⎠
κTα = αμb ρSα + ρGα
(16)
该式包含了几何必需位错所产生的额外的滑移阻力，其中 κTα 是第 (α ) 滑移系的总的滑移阻力
( ) （门槛应力），
ρ
α S
和
ρGα
是分别是第
α
滑移系的统计存储位错和几何必需位错，b 是 Burgers 矢量
的模， μ 是剪切模量，α 是材料参数。