11-4-24
化简为
c(T ) (c1 c 2 )F(T ) c 2 T
T F (t )dt
0
利用高等数学知识，求 它的最值
T应该满足
T
r(T) R(t)dt F (T )
c2
0
c1 c2
()
其中 R为可靠度， r为失效率
*式有解的条件是：
1-1-525
r() c1 c1 c2
通常需求量r 和购进量n都相当大，将r 视为连续性的变量更便于 分析和计算，这时概率[分布率] f(r)转化为密度函数p( r ).
1式变为：
n
G (n ) [a ( b )r (b c )n ( r)p ] (r)d r(a b )n(rp )d r
0
n
5
利用高等数学的方法。计算
dG
n
dn(ab)n(pn)0(bc)p(r)d r(ab)n(pn)n(ab)p(r)d
A ab
5
B bc
A B
n
7
n
因为当购进份报纸n时，A p(r)dr 是需求量r不超过n的概率。
0
即卖不完的概率
B p(r)dr 是需求量r超过n的概率。即卖完的概率
n
n
所以
p(r)dr
dG dn
0
0
ab bc
p(r)dr
n
购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于 卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。
这是一个随机性优化模型，目标函数取为单
位时间的平均损失，零件每更换一次称为一
个周期，周期的平均长度为
1-1-323
T
L tdF ( t ) TdF ( t )
0
T
一个周期的平均损失为
c c 1 F ( t ) c 2 [1 F ( t )] 单位时间的平均损失定 义为
c(T) c L
4：每次检查费用为c2，到时刻t为止的检查次数
可表示为
t
n
(
)d
0
设备在运行一次中总费用的期望值为
c(n(t))T 0[2n c(1t)c20 tn()d]f(t)dt
1--2177
它是一个泛函极值问题
自动化车床管理 模型假设
1 : 刀具每加工 u 件后定期更换，费用为
k
2 : 每生产 n 件零件定期进行检查，
称为零件的可靠度，
显然有R(0)=1,R(无穷)=0
1--2100
t
平均寿命即X的期望为（设积分收敛）
EXtdF(t)R(t)
0
0Байду номын сангаас
设零件运t新 仍到 然时 正刻 常(， t,t 则 t)失 它效 在的 P(Xtt|Xt)F(tt)f(t)t
1F(t) R(t)
定义 r(t) f (t) R(t)
4
如果需求量r 《 n ，则他售出r份，退回n-r份 如果需求量r 》 n ，则他售出n份。
又有需求量为r的概率为f(r)
n
G (n ) [a ( b )r ( b c )n ( r )f( ] r ) (a b )n (r ) f
r 0
r n 1
(1)
问题归结为在a,b,c,f( r )已知时，求n使G（ n）最大。
且 r(t) 为增函数
二：设备检查方案
1:设备故障时刻的概率分布函数为F(t)，概 率密度为f(t)，设备使用期限为T，于是 F(T)=1 2:设备带故障运行到检查时为止的损失与这 段时间呈正比，比例系数即为单位时间损失费
16
3相邻两次检查之间出现故障的时刻可认为是
均匀分布，而带故障运行的时间则取这个分布 的均值。n ( )
称为失效率
1--2111
典型的失效率函数形状如图： R（T）
它是一个条件概率， 当
t很小r时 (t)t表示零件 t以在前 正常运行的条件下， 在(t,tt)内失效的概率
T
1--2212
预防性更换策略
设某零件寿X命的分布函数F为(t)，平均命为 ， 若零件发生故障带来 损的 失为c1，未发生故障 而采取预防性更换的 用费 为c2,显然c1 c2,所谓 预防性更换策略是指 确， 定一个时T间,当零件寿 命X T时进行故障后更,X换 T仍然正常时进行 预防性更换，使得长 运期 行的长期运行损失 小最
8
显然：但报童与报社签定的合同使报童每份赚钱与赔钱之比。 越大时，报童购进的份数救应该越多。
推广：一般地，报纸每天的需求量的规律（分布律）未知，需要 经过调查和统计得出
以及日常得一些事件的影响，对该问题的影响。
9
自动化车床管理
引例 零件的预防性更换
问题：1999赛题
可靠度和失效率 用随机变量X表示零件的寿 命，其分布函数 F (t)P (X t) 表示零件寿命不超过 的概率 （及在时刻 t 之前失效）X的概率密度记为f(t)， 寿命大于的概率记为R(t)，及R(t)=P(X>t)=1-F(t)
概率统计建模法
• 1 报童的秘诀 • 2 自动化车床管理
1
整体概况
+ 概况1
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概况2
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况3
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。 2
概率建模法 报童的秘诀 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有买掉的报纸退回 试为报童设计一个购进报纸数量。
3
分析：众所周知，应该根据需求量确定购进量，需求量是随机 的，这需要调查，假定报童已经通过自己的经验或其他 的渠道 掌握了需求量的随机规律为f(r)，因需求量是随机 的所以，收入也是随机的，因此，不能以报童每天的收入 为目标，而应以他一段时期（比如一年）的日平均收入 为目标。
假设：
1：设每份报纸的进价为b 2：退回价为c 3：零售价为a 4：每天购进量为n份 5：每天报纸的需求量为r的概率为f(r),r=1.2.3…… 6：记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G（ n）
n
(bc)p(r)d r(ab)p(r)dr
0
n
令
n
p(r)dr
dG dn
0
0
ab bc
3
p(r)dr
n
使报童日平均收入达到最大的购进量n应该满足（3）式，
6
又因：
p(r )dr 1 所以（3）式可以化为
0
n
ab
0
p(r)dr
a
c
根据需求量的概率密度函数p( r ).的图形 很容易从（3）式确定购进量n，在图中用A ，B中分别表示曲线p( r ).下的两块面积，则 （3）式可记作：
检查费
用为 t，通常 n u ，为简化计算，不妨设
u sn
3 : 在 1） ，2） 下 ， 工 序 的 平 均 故 障
间隔记为
c 件，此时平均故障率 4 ) : 检查零件不合格，认定