dX

X 1
d1

X 2
d2
dY

Y 1
d1

Y 2
d2
X
dX dY



1 Y

1
X 2 Y Biblioteka 2 d1 d2

X
J


1
Y

1
X
时qi=di，dq= [dq1，dq2, … , dqn]T，反映了关节空间的微小运动。机器
人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿 X 表示，它是关
节变量的函数，X=X(q)，并且是一个6维列矢量。
dX=[dX，dY，dZ，φX，φY，φZ]T 反映了操作空间的微小运动，它由机器人
X X
dt
dt
或表示为
v X J (q)q
v为机器人末端在操作空间中的广义速度；q 为机器人关节在关节空
间中的关节速度；J(q)为确定关节空间速度与操作空间速度v之间关系
的雅可比矩阵。
X X
对于前面图示机器人
J


1

2

Y Y

1

2

若令J1，J2分别为雅可比的
nn,n1

各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式，即
τ 1
τ

τ
2


τ n
式中：n为关节的个数；τ为关节力矩(或关节力)矢量，简称广义关节力矩。 对于转动关节，τi表示关节驱动力矩；对于移动关节，τi表示关节驱动力。
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，利用虚功
不是方阵，则 JT 就没有逆解。所以，第二类问题的求解就 困难得多，一般情况不一定能得到惟一的解。如果F 的维数 比τ的维数低，且J 满秩，则可利用最小二乘法求得F的估计
Y

q1
q2



Z
Z
q1 q2
X
qn


Y

qn


Z
qn


X
qn


Y

qn


Z

qn
2.1.2 机器人速度分析
对式 dX=J(q) dq 左、右两边各除以 dt 得
dX J (q) dq
2.2 机器人静力分析
机器人各关节的驱动装置提供关节力和力 矩，通过连杆传递到末端执行器，克服外 界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末 端执行器施加的力和力矩之间的关系是机 器人操作臂力控制的基础。
2.2.1 操作臂力和力矩的平衡 如图示，杆 i 通过关节 i 和 i+1 分别与杆 i–1和 i+1相连
接，建立两个坐标系{i–1}和{i}。
定义如下变量：
f i–1，I 及 ni–1，i ——i–1杆通过关节 i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1 及 ni，i+1——i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩； –fi，i+1 及 –ni，i+1——i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作
J


J11

J21
033

J22

1、已知各关节的速度求操作臂末端的速度
x J (q)q
v w


Jl1 J a1
Jl2 Ja2
q1
J ln J an


q2

qn
Jli和Jai分别表示关节i的单位关节速度引起末端的线速度和角速度。
假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可 以由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出 每个连杆上的受力情况。
2.2.2 机器人力雅可比
为了便于表示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点广义力F )，可 将 fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量
F

fn,n1
x

v w


J11 J 21
033 J 22


qu ql

v J11qu
w J21qu J22ql
qu [q1 q2 q3 ]
ql [q4 q5 q6 ]
如果希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行
作业，则应计算出沿路径每一瞬时相应的关节速度。
fi1,i ( fi,i1) mi g 0
ni1,i (ni,i1) (ri1,i ri,Ci ) fi1,i (ri,Ci ) ( fi,i1) 0
式中：ri–1，i —坐标系{i}的原点相对于坐标系{i+1}的位置矢量； ri，ci —质心相对于坐标系{i}的位置矢量。
为，虽然可以用角度如回转角、俯仰角及偏转角等来规定
方位，却找不出互相独立、无顺序的三个转角来描述方位；
绕直角坐标轴的连续角运动变换不满足交换率，而角位移
的微分与角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微 分法来获得 J 的后三行。因此常用构造法求雅可比 J。
雅可比矩阵（6自由度机器人）
联系机器人关节速度与末端的笛卡儿速度 设：（为便于表达，写成分块矩阵的形式）
2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重 合时，机器人各关节运动相互抵消，不产生操作 运动。这时相应的机器人形位叫做内部奇异形位。
当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失 一个或更多的自由度。这意味着在工作空间的某 个方向上，不管怎样选择机器人关节速度，手部 也不可能实现移动。
例如，对于例题，当l1l2sθ2=0时，无解。l1≠0、 l2≠0，即θ2=0或θ2=180°时，二自由度机器人逆 速度雅可比J –1奇异。这时，该机器人二臂完全伸 直或完全折回，机器人处于奇异形位。在这种奇 异形位下，手部正好处于工作空间的边界，手部 只能沿着一个方向(即与臂垂直的方向)运动，不能 沿其他方向运动，退化了一个自由度。
求出该机器人手部在某一时刻的速度 v =f (t)，即手部瞬时速度。
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为
q J 1 v
式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
[例] 图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0 m/s的速
度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时 的关节速度。 解：二自由度机械手速度雅可比为
机器人操作臂静力计算可分为两类问题：
1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，利用式 τ J TF 求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作
用力或负载的质量。是第一类问题的逆解。逆解的关系式为
F =(JT)–1τ
机器人的自由度不是6时，例如 n >6时，力雅可比矩阵就
用力矩；
fn，n+1及 nn，n+1——机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； –fn，n+1 及 –nn，n+1——外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩； f0，1及n0，1——机器人机座对杆1的作用力和力矩； m g——连杆i的重量，作用在质心C 上。
连杆的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因 此力和力矩平衡方程式为:
2.1.3 机器人雅可比讨论
对于平面运动的机器人，其雅可比J 的行数
恒为 3，列数则为机械手含有的关节数目， 手的广义位置向量 [X，Y，φ]T 均容易确定， 且方位φ与角运动的形成顺序无关，故可采 用直接微分法求φ，非常方便。
在三维空间作业的六自由度机器人的雅可比 J 的前三行代
表手部线速度与关节速度的传递比，后三行代表手部角速 度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵 J 的每一列则代表 相应关节速度对手部线速度和角速度的传递比， J 阵的行 数恒为6 (沿/绕基坐标系的变量共6个)，通过三维空间运行 的机器人运动学方程可以获得直角位置向量 [X，Y，Z]T 的显式方程。因此，J 的前三行可以直接微分求得，但不 可能找到方位向量[φX，φY，φZ]T 的一般表达式。这是因
机器人动力学主要研究机器人运动特性和受 力之间的关系，目的是对机器人进行控制、 优化设计和仿真。机器人动力学两类问题：
动力学正问题和动力学逆问题。
动力学正问题：已知机械手各关节的作用 力或力矩，求各关节的位移、速度、加速 度、运动轨迹；
动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹， 即各关节的位移、速度和加速度，求各关 节的驱动力和力矩。
1 2


1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12 1
l1s1

l2s12

0
1

c12 l1s2

1 rad / s 0.5

2
rad / s
2

c1 l1s2
c12 l1s2
4 rad / s
2

Y
2

dθ

d1

d
2

dX
dX

dY

J

l1s1 l2s12

l1c1

l2c12
l2s12
l2c12

推而广之，对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量 q 表
示，q= [q1, q2, …, qn]T，当关节为转动关节时qi=θi；当关节为移动关节