解析 1.5 为区间(1,2)的中点，且 f(1)＜0，f(1.5)＞0，∴方程的
根 x0∈(1,1.5)，又 1.25 是(1,1.5)的中点且 f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，
∴x0∈(1.25,1.5)．
答案 B
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题型二 用二分法求函数的零点 【例 2】用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内的一个 零点(精确度 0.01)． [思路探索] 根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间， 直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值． 解 经计算 f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点 x0.取(1,1.5)的中点 x1＝1.25，经计算 f(1.25)＜0，因为 f(1.5)·f(1.25) ＜0，所以 x0∈(1.25,1.5)． 如此继续下去，如下表：
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则令 b＝c(此时零点 x0∈ (a，c) )； ③若 f(c)·f(b)＜0， 则令 a＝c(此时零点 x0∈ (c，b) )． (4)判断是否达到精确度 ε：即若 |a－b|＜ε 似值 a(或 b)；否则重复(2)～(4)．
，则得到零点近
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1.312 5 f(1.25)＜0
f(1.375)＞0
f(1.312 5)＜0
(1.312 5， 1.375)
(1.312 5， 1.343 75)
1.343 75
1.328 125
f(1.312 5) ＜0
f(1.373)＞0
f(1.343 75)＞0
f(1.3125)
＜0
f(1.345 75) ＞0 f(1.328 312 5)＞0
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试一试：2008 年初我国南方遭遇了 50 年不遇的雪灾，雪灾发 生后，停水断电，交通受阻．一日，某市 A 地到 B 地的电话线 路发生故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电 线杆，如何迅速查出故障所在？ 提示 如图所示，可首先从中点 C 开始查起，用随身携带的工 具检查，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段；再到 BC 段中 点 D 检查，若 CD 段正常；则故障在 BD 段；再到 BD 段中点 E 检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一 半，经过 7 次查找，即可将故障范围缩小到 50～100 m 之间， 即可迅速找到故障所在．
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想一想：用二分法求方程的近似解时，如何决定步骤的结束？ 提示 看清题目要求的精确度，当零点所在区间的两个端点值 之差的绝对值小于精确度 ε 时，则二分法步骤结束．
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名师点睛 1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地 将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足 够小的空间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似 地表示真正的零点．
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误区警示 因对“二分法”精确度的理解不 正确而出错 【示例】 用二分法求方程 x2－5＝0 的一个非负近似解(精确度 为 0.1)． [错解] 令 f(x)＝x2－5， 因为 f(2.2)＝2.22－5＝0.16＜0， f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0， 所以 f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0，
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取区间(a， (a，b)
f(a)
b)
的中点
(1,1.5) 1.25 f(1)＜0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.25)＜0
f(b)
f(1.5)＞0 f(1.5)＞0
a＋b f( 2 ) f(1.25)＜0 f(1.375)＞0
(1.25， 1.375)
(1.125,1 .25)
1.187 5
f(1.125) f(1.25)＞0 f(1.187 5)＜0
＜0
因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，所以函数 f(x)＝2x＋3x－6 精确度为 0.1 的零点可取为 1.25.
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题型三 用二分法求方程的近似解 【例 3】 (12 分)借助计算器或计算机用二分法求方程 2x＋3x＝ 7 的近似解(精确度为 0.1)． 审题指导 可利用转化思想，构造函数 f(x)＝2x＋3x－7 转化成 求函数的零点近似值． [规范解答] 原方程 2x＋3x－7＝0，令 f(x)＝2x＋3x－7，用计算 器或计算机作出函数 f(x)＝2x＋3x－7 的对应值表.
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2．用二分法求方程的近似解要注意的问题 (1)看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零 点是连续不间断的，且在该零点左右函数值异号． (2)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束． (3)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是 相同的，但二分的次数却相差较大，零点所在区间的选取要尽 可能小． (4)在二分法的第四步中，由|a－b|＜ε 便可判断零点近似值为 a 或 b.
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取区间
(a，b) 的中点 f(a)
f(b)
(a，b)
fa＋2 b
(1,1.5)＞0
(1,1.5)
1.25
f(1)＜0 f(1.5)＞0 f(1.25)＞0
(1,1.25)
1.125
f(1)＜0 f(1.25)＞0 f(1.125)＜0
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[思路探索] 解答本题可根据二分法的定义，判断是否具备二分法 的条件．
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解析 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异 号．在 B 中，不满足 f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点． 答案 B 规律方法 “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有 满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能 应用“二分法”求函数零点．
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2．二分法的步骤 给定精确度 ε，用二分法求 f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0 ，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点 c； (3)计算 f(c)； ①若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(c)＜0，
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(1.312 5， 1.328 125)
1.320 312 5
f(1.312 5) ＜0
f(1.328 125) ＞0
f(1.320 312 5) ＜0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以函数 f(x) ＝x3－x－1 的一个精确度为 0.01 的近似零点可取为 1.328 125.
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f(2.375)＜0，f(2.5)＞0⇒x0∈(2.375,2.5)； f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0⇒x0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.4375|＝0.0625＜0.1， ∵方程 x2＝2x＋1 的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 2.437 5.
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【题后反思】 求方程近似解时常用方法 对于求形如 f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求 形如 F(x)＝f(x)－g(x)＝0 的方程的近似解，然后按照二分法求 函数零点近似值的步骤求解．
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【变式 3】 求方程 x2＝2x＋1 的一个近似解(精确度 0.1)． 解 设 f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，∴在区间(2,3)内方程 x2－2x－1＝ 0 有一解，记为 x0. 取 2 与 3 的平均数 2.5， ∵f(2.5)＝0.25＞0，∴2＜x0＜2.5； 再取 2 与 2.5 的平均数 2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5＜0， ∴2.25＜x0＜2.5；如此继续下去，有
3．1.2 用二分法求方程的近似解
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【课标要求】 1．理解二分法求方程近似解的原理． 2．能用二分法求出方程的近似解． 3．知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼 近”的思想． 【核心扫描】 1．利用二分法求方程的近似解．(重点) 2．判断函数零点所在的区间．(难点) 3．精确度 ε 与近似值．(易混点)
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自学导引 1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上 连续不断且f(a)·f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间
的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法，叫 做二分法．
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【变式 1】 设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0
在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，
则方程的根落在区间( )．
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
x
0 1 23 4 5