10
5.1.1.4 其他改进算法
• 输入输出算法 Input-output algorithm
5.1.2 YG(杨-顾)算法
GS算法及其改进算法局限于处理傅里叶变换系统 实际光学系统，非傅里叶变换形式 非幺正变换系统(像差、光阑的存在等) 对多个输出面、多个波长等提出要求 GS算法难以奏效！
• 自适应加法算法 Adaptive-additive algorithm • 自适应乘法算法 Adaptive-multiplicative algorithm • 自适应正则化算法 Adaptive-regularization algorithm
优化
数值解
离散化
如何选择输出面上的采样间隔？ 除了优化时选择的采样点外，其他点也满足需求。 香农采样定理:
采样间隔不够小！
rms=3.3%
精细化采样：
9.0%
42.5%
60.3%
5.9%
11.8%
相同的采样间隔、平移
不同的采样间隔
相同的采样间隔、平移
不同的采样间隔
8
迭代算法总体思路
输入面 输出面
优化过程中控制输出面上采样 间隔加密一倍的采样点
中科院物理所杨国桢、顾本源等应用光学一般变换理 论，提出了幺正变换系统中振幅/相位恢复问题的一 般描述方法，通过严格数学推导，给出了一组确定振 幅/相位分布的联立方程组；并将之推广到非幺正变 换系统。基于联立方程组的迭代算法，原则上可解决 任意线性变换系统中的振幅/相位恢复问题。
4
从泛函分析的角度考虑， 、 可看成平方可 积函数空间L2中的点或元素，积分变换G是平方可积 函数空间L2中点到点的映射或是函数空间L2中的一个 线性变换。 积分变换G可用无限维矩阵 表示。
GS algorithm
Adiabatic modification
Phase is fully continuous!
demerits: should be small enough to ensure the output modification is sufficiently adiabatic. • very low efficiency in optimization (<<1) • rather difficult to obtain good design result
5.2 搜索算法
优化算法
输入 输出 迭代算法
算法流程
输入 输出
搜索算法 优化策略
全局搜索
偏振解复用
局部搜索
最速下降法 爬山法 共轭梯度法
模拟退火 遗传算法 波长解复用 长焦深 GS 算法, YG算法及其改进算法
GS算法不能实现或很难实现！
5.2.1 局部搜索算法
5.2.2 全局搜索算法
SA(Simulated Annealing：模拟退火)算法 SA算法借鉴不可逆动力学的思想，是一种基于蒙特卡洛迭代 求解法的启发式随机优化方法。它不同于局部优化算法之处 在于以一定的概率选择邻域中评价函数值大的状态。 基本思想：将优化变量的可能取值看成某一物质体系的微观 状态，而将评价函数看成该物质体系在对应状态下的内能， 并用控制参数 T 类比温度。在某一温度下，经不断降温，在 全局解空间中随机搜索最优解，同时具有概率突跳特点，即 在局部极小以一定概率跳出并最终趋于全局最优。算法流程 包括Metropolis抽样和退火过程两部分。
输出面光场复振幅分布E2_ideal(,)或光强分布Iideal(, ) 求解？ 衍射光学器件的透过率函数t(x,y) 调制入射光波，经G变换后，实现E2_ideal(,)或Iideal(, )
?!
如何求解(, )，保证t(x,y)是一个纯相位函数？ 死循环！
?
E2_ideal(,)
光学设计 第五章 衍射光学元件优化设计
谭峭峰 tanqf@
清华大学 精密仪器系 光电工程研究所
波前变换法设计：
菲涅耳波带透镜、光束整形器件 输入 输出
优化算法
迭代算法
算法流程
输入 输出
解析法设计：
分束比为3的Dammann光栅分束器 两台阶Talbot光栅阵列照明器 只有很少的几种特殊情况能进行解析求解
缺点：
N如何选取？
• 存在包含相位突变点 • 设计性能不尽如人意
=98.6%
rms =17.7%
5.1.1.1 调整 Step 2，改善设计性能
每次以理想输出替换输出面光场振幅分布
改进算法设计结果 提高收敛速度，基本克服易陷于局部极值点这一缺陷。
3
5.1.1.2 调整 Step 4，减小位相突变点
GS改进算法 激光光束整 仿真结果 形实验结果
激光相干性太好，出现散斑
方法2：实时产生具有不同散斑噪声分布的光场，利用 积分效应抑制散斑噪声。
加入运动的散射片 改变入射激光偏振角 连续改变光源入射角度 用多个不同波长的激光器或调谐激光器入射 在SLM上循环加载子全息图
方法3：通过改进优化算法抑制散斑。
难以解析求解，转化成优化问题。
离散化处理
一维情形、入射波前为理想平面波、系统为傅里叶变换系统 多台阶衍射光学器件：
傅里叶变换系统
输出光强分布： 口径为D，等分为N相位单元 矩形函数： sinc函数： 采样间隔选为
透过率函数：
FFT
2
输出面理想分布： d 矩形区域内，采样点数目： 理想输出：
5.1迭代算法
透镜
(a) j=1 (b) j=2 (c) j=J 振幅限制条件随循环次数j的增加而严格示意
输入面 输出面
第j步补零区域振幅J>0
透镜
设计性能差
二维仿真结果
优化过程中的Kj、j和RMSEF，j
二维实验结果
三次循环中所有RMSEF，k的变化情况
Ij 的二维分布
I1
实验光路图
实验结果
I2
I3Байду номын сангаас
相位分布 根据优化出的相位分布，输出面采样加密4倍后的计算结果 GS算法的实验结果
5.1.1GS(Gerchberg-Saxton )算法
(最早的实用算法， 1971年)
Step 1 Step 2
Step 4 光能利用率： Step 3 顶部不均匀性： GS 算法流程图
设计参数：入射波长=1.053m 器件口径D=100mm 透镜焦距f=800mm 输出焦斑大小d=210m
5.2.3 混合优化算法
全局搜索算法 • 跳出局部极值点，获得全局最优解 • 优化效率低 局部搜索算法 • 不能跳出局部极值点，优化结果不够好 • 优化效率高
GLUSA(Global/local united searching algorithm)
7
5.3 精细化设计
优化 数值解 离散化
方法1：通过降低光源相干性来抑制噪声，采用非相干 激光光源，或LED、超辐射发光二极管等光源。
(4) 交叉。把两个不同位串上的有用段组合在一起， 交叉的位置随机确定，发生概率为0.6 到1.0 之间。 (5) 变异。辅助算子。作用在位串上，以较小的概率 随机改变位串上的任一位(即相应位上的0 变为1，或1 变为0)，变异的位置随机确定。概率值一般取0.001到 0.01之间。 (6) 达到设定的迭代次数或收敛指标时停止,否则转回 到(2)。
G: 描述输出面与输入面光场分布关系的积分变换
幺正变换： 非幺正变换：
“+”表示取厄密共轭运算(转置复共轭)
一维情形：
输入面采样数目N1
输出面N2
求D的最小值 变分(微分)
*表示取共轭
设计参数：入射波长=1.053m 器件口径D=100mm 透镜焦距f=800mm 输出焦斑大小d=210m
YG算法流程
Step 1 Step 2
相位混合算法（Phase mixture algorithm） 相位混合前 相位混合后
a+b=1
Step 4
Step 3 GS 算法流程图
a=0.9 b=0.1
=97.4%
rms =19.9%
获得连续相位分布，与初值有关
5.1.1.3 绝热迭代，获得二维连续分布相位
• The initial phase should be chosen to be smoothly varying. • The output should be modified slightly during each iteration cycle. Output modification should be sufficiently adiabatic, then no 2-line discontinuities will be introduced.
rms改善了近30%
小结：
迭代算法、搜索算法与混合算法 精细化设计 空间频谱性能评价
衍射光学光束整形元件设计实践
目标：在透镜后焦面上实现各自姓名的光强分布 要求： 1、波长、衍射光学元件口径、形状、入射波前、二维目 标分布及尺寸等都可自行设定。 2、算法任选。可使用改进算法，也可自行改进算法。 3、对相位进行8台阶量化，重新计算。 4、更换输出面的采样间隔，重新计算。
遗传算法实现
(1) 随机产生一组初始种群(n个，n=40~300)：解群。 (2) 计算解群中每个解(位串)相应的目标函数值(适值) 及选择率(每个位串的适值占解群适值的百分数)。 (3) 在计算的各个位串的适值中，选出适值较大的n 个位串，构成配对集，这个过程称为选择。或者每次 从解群中随机选出两个位串，将适值大的位串加入配 对集。重复此过程，直至配对集中包含n 个位串为止， 这是两两竞争方法。
G: 描述输出面与输入面光场分布关系的积分变换
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衍射光学光束整形系统