数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。

ln2 第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧1-=4+2+4=+2+31-=4++2321321321x x x x x x x x x解 顺序消元⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⋅+-⋅+-⋅+1717005.555.0014125.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧5=+2+23=++1=2-2+321321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)第1次迭代,k =0X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⨯-⨯-=-=+--==+⨯+⨯-=3532123351515232)2(3)2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T第3次迭代，k =2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⨯-⨯-==+---==+-⨯+-⨯-=15)3(25213)3(511)3(2)3(2)2(3)3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k =3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-⨯-==+--==+⨯+⨯-=1512121311111212)2(3)2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。

证明 例2中线性方程组的系数矩阵为A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122111221 于是 D ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 D －1＝D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=022001000L ~ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000100220U ~雅可比迭代矩阵为B 0＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 0))1(22[2)]1(2)2([2221102221122B I 30==+-+-+-+=++=-=-λλλλλλλλλλλλλλλ得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。

高斯－赛德尔迭代矩阵为G ＝－U ~)L~D (1-+ ＝－⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20032022000010022012001100100010022012201100110)2(20032022I 2=-=---=-λλλλλλG解得特征根为1=0，2,3=2。

由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。

例5 填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧2=3--3=3+2+20=+2++21321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。

答案：⎩⎨⎧=+--=-5.35.125.15.03232x x x x解答 选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，消元得到⎩⎨⎧=+--=-5.35.125.15.03232x x x x 是应填写的内容。

3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧5=+2+23=++1=2-2++321321321x x x x x x x x x 的迭代格式中)1(2+k x ＝ (k =0,1,2,…)答案：)(3)1(13k k x x --+解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x 2的值时应该用上x 1的新值。

第三章典型例题例1 已知函数y =f (x )的观察数据为试构造拉格朗日插值多项式P n (x )，并计算f (－1)的近似值。

[只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=0))(())()(())(()(x x x x x x x l405-4-2+=5-04-02--05-4-2+=1))()(())())((())()(()(x x x x x x x l245-2+-=5-40-42+45-2+=2))(())()(()()()(x x x x x x x l35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=--+-+=x x x x x x x l所求三次多项式为P 3(x )=∑=nk k k x l y 0)(＝845-4-⨯5-))((x x x ＋405-4-2+))()((x x x －245-2+⨯3-))(()(x x x ＋354-2+)()(x x x ＝1+2155-141-42523x x xf (－1)P 3(－1)＝724=1+2155-141-425-例3 设n x x x x ,...,,,210是n +1个互异的插值节点，),...,,,)((n k x l k 210=是拉格朗日插值基函数，证明：(1) 1≡∑0=n k k x l )( (2) ),...,,,()(n m x x x l m nk m k k 210=≡∑0=证明 (1) P n (x )=y 0l 0(x )+y 1l 1(x )+…+y n l n (x )=∑=nk k k x l y 0)()()()(),()!()()()(x R x P x f x n f x R n n n n n +=∴1+=1+1+ωξ当f (x )1时，1＝)()!()()()()()(x n f x l x R x P n n kk k n n 1+1+0=1++⨯1=+∑ωξ 由于0=1+)()(x f n ，故有1≡∑0=nk k x l )((2) 对于f (x )=x m ,m =0,1,2,…,n ，对固定x m (0mn ), 作拉格朗日插值多项式，有)()!()()()()()(x n f x l x x R x P x n n nk kmk n n m1+1+0=1++=+≈∑ωξ当n >m －1时，f (n +1) (x )=0，R n (x )=0，所以 m nk k m k x x l x ≡∑0=)(注意：对于次数不超过n 的多项式011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)(,利用上结果，有011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)( =∑∑∑∑0=00=10=1-1-0=++++nk k n k k k nk n kk n nk n kk n x l a x x l a xx l a x x l a )()(...)()(=∑∑==--=++++nk k kn nk k n kn nkn k x l x Qa ax x a x a x l 00011)()(]...)[(上式∑=nk k k n x l x Q 0)()(正是Q n (x )的拉格朗日插值多项式。

可见，Q n (x )的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n 的多项式在n +1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。

例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。

解 计算列入表中。

n =5。

a 0,a 1满足的法方程组是⎩⎨⎧5105=55+1531=15+51010.a a a a解得a 0=, a 1=。

所求拟合直线方程为 y =+ 例6选择填空题1. 设y =f (x ), 只要x 0,x 1,x 2是互不相同的3个值，那么满足P (x k )=y k (k =0,1,2)的f (x )的插值多项式P (x )是 (就唯一性回答问题)答案：唯一的3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( )(A) )()!()()()()()(x n f x P x f x R n n n n 1+1+1+=-=ωξ (B) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )(C) )!()()()()()(1+=-=1+n f x P x f x R n n n ξ(D) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )答案：(A)，(D)。

见教材有关公式。

第四章典型例题例1 试确定求积公式)()(d )(31+31-≈⎰11-f f x x f 的代数精度。

[依定义，对x k (k =0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k 数值]解 当f (x )取1,x ,x 2,…时，计算求积公式何时精确成立。

(1) 取f (x )=1,有左边＝2=1=⎰⎰11-11-x x x f d d )(, 右边＝2=1+1=31+31-)()(f f(2) 取f (x )=x ,有左边＝0=0=⎰⎰11-11-x x x f d d )(, 右边＝0=31+31-=31+31-)()(f f(3) 取f (x )=x 2,有左边=32==⎰⎰11-211-x x x x f d d )(, 右边=32=31+31-=31+31-22)()()()(f f(4) 取f (x )=x 3,有左边=0==⎰⎰11-311-x x x x f d d )(, 右边=0=31+31-=31+31-33)()()()(f f(5) 取f (x )=x 4,有左边=52==⎰⎰11-411-x x x x f d d )(, 右边=92=31+31-=31+31-44)()()()(f f当k 3求积公式精确成立，而x 4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。