流体力学11.1 流体的基本性质1)压缩性流体是液体与气体的总称。

从宏观上看，流体也可看成一种连续媒质。

与弹性 体相似，流体也可发生形状的改变，所不同的是静止流体内部不存在剪切应力，这是因为如果流体内部有剪应力的话流体必定会流动，而对静止的流体来说流动是不存在的。

如前所述，作用在静止流体表面的压应力的变化会引起流体的体积应变，其大小可由胡克定律 v v kp ∆-=∆描述。

大量的实验表明，无论气体还是液体都是可以压缩的，但液体的可压缩量通常很小。

例如在500个大气压下，每增加一个大气压，水的体积减少量不到原体积的两万分之一。

同样的条件下，水银的体积减少量不到原体积的百万分之四。

因为液体的压缩量很小，通常可以不计液体的压缩性。

气体的可压缩性表现的十分明显，例如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩。

但在可流动的情况下，有时也把气体视为不可压缩的，这是因为气体密度小在受压时体积还未来得及改变就已快速地流动并迅速达到密度均匀。

物理上常用 马赫数M 来判定可流动气体的压缩性，其定义为M=流速/声速，若M 2<<1，可视气体为不可压缩的。

由此看出，当气流速度比声速小许多时可将空气视为不可压缩的，而当气流速度接近或超过声速时气体应视为可压缩的。

总之在实际问题中若不考虑流体的可压缩性时，可将流体抽象成不可压缩流体这一理想模型。

2)粘滞性为了解流动时流体内部的力学性质，设想如图10.1.1所示的实验。

在两个靠得很近的大平板之间放入流体，下板固定，在上板面施加一个沿流体表面切向的力F 。

此时上板面下的流体将受到一个平均剪应力F/A 的作用，式中A 是上板的面积。

实验表明，无论力F 多么小都能引起两板间的流体以某个速度流动，这正是流体的特征，当受到剪应力时会发生连续形变并开始流动。

通过观察可以发现，在流体与板面直接接触处的流体与板有相同的速度。

若图10.1.1中的上板以速度u 沿x 方向运动下板静止，那么中间各层流体的速度是从0（下板）到u （上板）的一种分布，流体内各层之间形成流速差或速度梯度。

实验结果表明，作用在流体上的切向力F 正比与板的面积和流体上表面的速度u 反比与板间流体的厚度l ，所以F 可写成l u A F μ=， 因而流体上表面的剪应力可以写成l u ⋅μ=τ。

式中l u是线段ab 绕a 点的角速度或者说是单位时间内流体的角形变。

若用微分形式表示更具有普遍性，这时上式可以改写成dl du ⋅μ=τ， 或 dA dl du dF ⋅μ=。

上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式，比例系数μ称为流体的粘滞系数，上式叫做牛顿粘滞性定律。

μ为常数的流体称为牛顿流体，它反映了切应力与角形变是线性关系，μ不是常数的流体称为非牛顿流体。

流体的粘滞系数μ是反映流体粘滞性的大小的物理量，在国际单位制中，粘滞系数的单位是牛顿⋅秒/米2。

所谓粘滞性是指当流体流动时，由于流体内各流动层之间的流速不同，引起各流动层之间有障碍相对运动的内“摩擦”，而这个内摩擦力就是上式中的切向力，物理学中把它称为粘滞阻力。

因此上式实际上是流体内部各流动层之间的粘滞阻力。

实验表明，任何流体流动时其内部或多或少的存在粘滞阻力。

例如河流中心的水流动的较快，而靠近岸边的水却几乎不动就是水的粘滞性造成的。

在实际处 理流体的流动问题时，若流动性是主要的粘滞性作用影响不大，则可认为流体 是完全没有粘滞性的，这种理想的模型叫做非粘滞性流体。

3）压力与压强从前面的讨论知道静止流体表面上没有剪应力，所以容器壁作用在静止流体 表面上的力是与液体表面正交的，按牛顿第三定律流体作用在容器壁上的力也与 容器壁表面正交，这一点对静止液体内部也成立。

在静止液体内过某一点作一假 想平面，平面一方流体作用该平面的力也总是垂直于该假想平面。

流体表面与流 体内各点的压力一般是不一样的，在流体表面压力的方向只能是垂直于液体表面 ，而流体内部某点的压力沿各个方向都有，因为过流体内部一点我们可以取任意 方向的平面。

在流体力学中为了描述流体内部的作用力，引入一个叫做压强的物 理量，规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值，它是一标量。

为了计 算流体内某一点的压强，我们应该设想通过该点的假想平面∆s 是无限小的，若该 面上的正压力为∆F ，则定义该点的压强 s F lim p 0s ∆∆=→∆ 。

在国际单位制中压强的单位是牛顿/米2，也称为帕用Pa 表示。

在实际应用中压强也有用等价的流体柱高表示的，如医用测量血压的仪器就是用水银柱高作为压强的单位。

流体力学中压强是标量但力是矢量，面元的法向也是矢量。

既然流体内部的力总是垂直于假想平面，因此可定义流体内某点力的方向与它所作用平面的内法线方向一致，这样作用流体内任一面元上的力∆F 可写成 d F = -p d s 。

由于流体内部每一点都有压强所以说流体内每一点都存在压力，至于压力的方向由所考虑平面的法线决定，可以是任何的方向，当流体流动时压强与压力的关系不变。

4）流体的密度和比重在流体力学中常用密度来描述流体的动力学规律，其定义和固体定义一样为单位体积流体的质量，即流体内某点的密度为 dv dm v m lim0v =∆∆=ρ→∆。

对均匀不可压缩的流体密度是常数，一般情况下流体内部各点的密度是不相同的。

单位体积流体的重量称为流体的比重。

设想在流体内部取一小体积∆v ，∆v 中包含流体的质量为∆m ，因而∆v 内流体的重量为∆mg ，由定义该流体的比重 g v mg lim 0v ρ=∆∆=γ←∆ 。

11.2 流体静力学方程1）静止流体内任一点的压强静止流体内过一点可以沿许多不同的方向取面元，现在来研究这些不同取向的面元上压强有什么关系。

在静止的流体内部取一个很小的四面体ABC 包围该点，如图10.2.1所示。

设面元ABC 法线的方向余弦为α、β、γ，周围流体对该点作用力（压力）可以用压强P 1、P 2、P 3和P 表示，当流体静止时所受到的合外力为零，即⎪⎩⎪⎨⎧=γ⋅∆-∆=β⋅∆-∆=α⋅∆-∆0S P S P 0S P S P 0S P S P ABC OAB 3ABC OAC 2ABC COB 1因为⎪⎩⎪⎨⎧∆=γ⋅∆∆=β⋅∆∆=α⋅∆OAB ABC OAC ABC COB ABC S S S S S S由上式得到 P = P 1= P 2 = P 3 。

由于四面体是任意选取的，于是我们可以得出结论：静止流体内部任一点上沿各个方向的压强都相等，与过这点所取面元法线的方向无关。

正因为如此，流体力学中压强只与流体内的点对应而不必强调压强是对哪一个面的。

2）流体静力学方程处理流体静力学问题时，常常取流体内部一个小流体元作为研究对象。

作用在小流体元上的力大致可分为两类。

一类是作用在小流体元外表面上的压力，我们称之为面力，如液体表面的正压力Pds 。

另一类是作用在整个小流体元上与流体元的体积成正比的力，如重力ρgdv 、惯性力等，我们称为体力。

下面从牛顿定律出发推导流体静力学满足的普遍方程。

当流体处于静止状态时，流体内任一小流体元受到的面力与体力之和必定为零，即平衡条件为0=+∑∑体面F F 。

与压强类似，我们引入一个体力密度dv d 体F f = ，它表示作用在单位体积流体上的 体力。

例如在只有重力作用下，体力密度f 的大小就是比重ρg ，方向沿重力方向，而在惯性力的作用下，体力密度就是f = －ρa 。

为了建立流体静力学方程，我们在静止流体内部取如图10.2.2所示的立方体流体元，根据平衡条件有⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆∆+-∆=∆+∆∆+-∆=∆+∆∆+-∆∑∑∑0v f s )p p (s p 0v f s )p p (s p 0v f s )p p (s p z xy z z xy z y zx y y zx y x yz x x yz x整理后得⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆∆-=∆+∆∆-=∆+∆⋅∆-∑∑∑0v f s p 0v f s p 0v f s p z xy z y zx y x yz x利用 ,v z p z s z p s p ,v yp y s y p s p ,v xp x s x p s p z xy z xy z y zx y zx y x yz x yz x ∆⋅∆∆=∆⋅∆⋅∆∆=∆⋅∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆⋅∆∆⋅∆∆=∆⋅∆⋅∆∆=∆⋅∆可将前式简化成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆⋅+∆∆-=∆⋅+∆∆-=∆⋅+∆∆-∑∑∑0v )f z p (0v )f yp (0v )f x p (z z y y x x显然体积∆v ≠0，所以只能是0f z p ,0f y p ,0f xp z z y y x x =+∆∆-=+∆∆-=+∆∆-∑∑∑。

在上面的式子中取极限0z ,0y ,0x →∆→∆→∆，就可得静止流体内任一点都必须满足的方程0f z p ,0f y p ,0f x p z y x =+∂∂-=+∂∂-=+∂∂-∑∑∑。

借助梯度算符k j i z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇， 上式可以改写成更简洁的形式p ∇=∑f 。

这就是流体静力学的普遍方程，它表明若流体内任一点的总体力密度等于该点处压强的梯度则流体一定处于静止状态。

3）重力场中流体内部压强分布i)液体：我们先来讨论静止液体内部的压强分布。

设液体的密度为ρ放置在一 长方形的容器内，液面的柱面高为z 0，液体表面的压强为P 0如图10.2.3所示。

在重力场中液体受到的体力密度为－ρg k ，由流体静力学普遍方程得g z p ,0y p ,0xp ρ-=∂∂=∂∂=∂∂。

由上述方程知液体内部压强与坐标x 、y 无关，只是深度的函数。

积分第三式得 p = -ρgz + c ，当z=z 0时P=P 0.故c=P 0+ρgz 0，所以液体内部压强随深度变化的关系为P = ρg(z 0-z) + P 0 = ρgh + P 0 ,式中h 为液面下的深度。

上式表明静止液体内部的压强只与距离液面下的深度有关与液体内部水平位置无关。

ii)气体：现在来讨论重力场中空气压强随高度变化的规律。

为简单起见，假定空气的温度是不随高度变化的而且空气可以看成理想气体。

如果在地面处空气的压强为P 0、密度为ρ0，则理想气体的状态方程可表示成00P P ρ=ρ。

以地面为坐标系原点所在处，z 轴垂直地面向上，由流体静力学方程dp= -ρgdz,。

将理想气体状态方程代入上式消除ρ得到 gdz p p dp 00ρ-=，分离变量后 ⎰⎰ρ-=p p z000dz p g p dp ， 完成上面的积分得z p g p p Ln 000ρ-=。

所以压强随高度的变化]/gz exp[p p 00ρρ-=] ，这表明空气压强随高度的变化满足波尔兹曼分布。