a11 x1 a12 x2
a
21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 (1-1)
ann xn bn
(1-1)可记为 AX = b
(1-1')
3
A
a11 a21
a12 a22
an1 an2
AX = b
a1n a2n
ann
(2 22
)
x
2
a (1) 13
x3
a (2) 23
x3
a (2) 32
x2
a (2) 3
x3
a
(2 i2
)
x
2
a (2) i3
x3
a
(2) n2
x
2
a (2) n3
x3
a (1) 1n
xn
b(1) 1
a (2) 2n
xn
b(2) 2
a (2) 3n
xn
b(2) 3
a (2) in
xn
b(2) i
0,
,
aHale Waihona Puke (i ii2x1
2x2 8 x 2
4x3 8x3
10 24
(5)
3x2 3x3 3
(6)
7
2
x1
2x2 8 x 2
4x3 8x3
10 24
(5)
3x2 3x3 3
(6)
(6)式-(5)式×(3/-8) , 得
2
x1
2x2 8 x 2
4x3 8x3
10 24
6x3 12
x3=2, x2=1, x1=0
令
a (1) 21
m a (1) (1) 2 11
0
若
a (1) 11
0
得
m (1) 2
a (1) 21
a (1) 11
得到： 0 a（222）x2
a（22n）x n
b（2） 2
11
a (1) 11
x1
a (1) 12
x2
0
a
(2) 22
x
2
a (1) 13
x3
a (2) 23
x3
第 (i)行
• AX = b
解的存在与唯一性:
• 若系数矩阵A非奇异,则方程组有唯一解: X= A-1b
6
例：解如下三元一次方程组:
2 5
x1 x1
2x2 3x2
4x3 2x3
10 1
(1) (2)
x1 4x2 x3 2 (3)
(2)式－(1)式×(5/2) (3)式－(1)式×(1/2)，得
an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
(1-1)
化为：
b11 x1
b12 x2 b22 x2
b1n xn g1 b2n xn g2
bnn xn gn
(1-2)
该过程叫消元，然后可以求出xn, xn-1,…,x1, 叫回代。
a (1) i1
a (1) 11
ai(j2)
a(1) ij
m a (1) (1) i 1j
,
bi(2)
b(1) i
m b (1) (1) i1
,
j 2, 3, , n
i 2, 3, , n
计算量分析 (只计算乘除法)： (n+1) (n-1)次乘除法
12
a1(11)
x1
a (1) 12
x2
a
A(3) X b(3)
13
第k次消 元
a (1) 11
x1
a (1) 12
x2
a
(2) 22
x
2
a (1) 13
x
3
a (2) 23
x3
第 (i)行
a
(k kk
)
x
k
a
(k nk
)
x
k
a (1) 1n
x
n
b(1) 1
a (2) 2n
xn
b(2) 2
a
(k kn
)
x
n
b(k) k
a(k) nn
8
• §1.1 Gauss消元法与列主元消元法 1.1.1 Gauss消元法 1.1.2 列主元消元法
• §1.2 三角矩阵分解法 • §1.3 解线性方程组的迭代法
9
1.1.1 Gauss消元法(Gaussian Elimination )
a11 x1 a12 x2
a
21
x1
a22 x2
第一章 线性代数方程组
数值解法
Chapter 1 The Numerical Methods for Solving Linear Equations
1
本章主要内容
• §1.1 Gauss消元法与列主元消元法 • §1.2 三角矩阵分解法 • §1.3 解线性方程组的迭代法
2
本章研究对象：
线性代数方程组
a (2) nn
xn
b(2) n
a1(11)
x1
a (1) 12
x2
a
(2) 22
x
2
a (1) 13
x3
a (2) 23
x3
a
(3) 33
x
3
a
(3) n3
x
3
a (1) 1n
x
n
b(1) 1
a (2) 2n
xn
b(2) 2
a (3) 3n
xn
b(3) 3
a (3) nn
xn
b(3) n
A(2) X b(2)
xn
b(k) n
若
a(k) kk
0
m(k) i
a(k) ik
a(k) kk
a(k ij
1)
a(k) ij
mi(
k
a) (k kj
)
,
i, j k 1, k 2,
,n
bi( k 1)
b( k ) i
mi(
k
b) (k k
)
,
计算量分析 (只计算乘除法): (n-k+2)(n-k)次乘除法
14
a (3) 33
2
a（an1n）nnxxn nb（bn1n）
AA（1X）Xb b（1）
行乘数
第2行减去第1行乘以非零常系数
m (1) 2
：
(a（211）
m
a ) (1) （1）
2 11
x1
(a（212）
m
a ) (1) （1）
2 12
x2
(a（21n）
m
a ) (1) （1）
2 1n
x
n
b（21）
m b (1) （1） 21
10
1.1.1.1 Gauss消元法的计算过程
(1-3)
aa（（121111a））axx211111xx11
a（121a）1x2 2x2 a（2a12）2x2 x2 2
a（1a1n）1nxxn nb（b111） a（a21n）2nxxn nb（b212）
a（n1a1）nx11x1
a（na12）nx2 x2
x1
X
x2
xn
b
bb12
bn
线性代数方程组的分类：
1、稠密方程(零元素<80%)和稀疏方程；
2、高阶方程(n1000)和低阶方程；
3、对称正定、三对角、对角占优等。
4
线性代数方程组的解法分类： 1、直接法； 2、迭代法。
2020年10月9日1时19分5
什么是直接解法?
• 在没有舍入误差的情况下，经过有限步 运算能求得方程组精确解的方法。
a
(1) i1
x1
a (1) i2
x2
a (1) i3
x3
a
(1) n1
x1
a (1) n2
x2
a (1) n3
x3
a (1) 1n
xn
b(1) 1
a (2) 2n
xn
b(2) 2
a (1) in
xn
b(1) i
a (1) nn
xn
b(1) n
用
(
i
)
(1)
m
(1) i
,得到新的行乘数：
m (1) i