计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值.
解： 数据进行如下分组，
该段时间内通过的 汽车数所在区间
（220，230] （230，240] （240，250] （250，260] （260，270] （270，280] （280，290]
总计
区间中点值x(i )
225 235 245 255 265 275 285
观测值 x(1) 频 数 m1
x(2)
m2
x(l )
总计
ml
n
则
x
1 n
l
mi x(i)
i1
,
s2
1 n 1
l i1
mi
( x(i )
x)2
,
~2
1 n
l i1
mi
( x(i )
x)2
.
注：对于连续随机变量或者某些离散随机变量抽样得 到的样本观测值，分成若干个子区间整理后，通常把
各个子区间的中点值取作 x(i) , 样本观测值落在对应区 间的频数取作 mi 进行计算.
若总体 X 的k阶矩 E( X k ) 记成 k 存在, 则当n 时, Vk P k , k 1, 2, .
证明 因为 X1, X2 , , Xn 独立且与X 同分布,
所以 X1k ,
X
k 2
,
,
X
k n
独立且与X k 同分布,
故有
E(
X1k
)
E
(
X
k 2
)
E
(
X
k n
)
k
.
再根据第三章大数定律知
统计量 ：不依赖任何未知参数的样本函数.
例1 设 X1, X2, X3是来自总体N (, 2 )的一个 样本, 其中 为已知, 2 为未知, 判断下列各式哪
些是统计量, 哪些不是?
T1 X1,
T2 X1 X2e X3 ,
T3
1 3
(
X
1
X2
X 3 ),
是
T4 max( X1, X 2 , X 3 ), T5 X1 X2 2,
x
)2
.
3其.S样样2观本本测n方标S1值2差准1记(可差innnn作111化1X111i简(2(iiinnn1为Ss11n(XXXX：iii222nn)n1,12Xs2112XXi2inn1i1i)n(X(n1xXi1Xi1iXx(X)inn221))X.x2i.22
)
nx
2
).
4.样本 k 阶原点矩
[例2] 观测某交通路口每天上午8:00~8:30这段时间内
通过的汽车车辆数，共观测30天，得到如下观测值：
234 260 241 259 256 241 261 257 277 255 244 249 238 269 250 268 256 253 226 256 235 256 251 258 246 255 257 282 251 261
T6
1 2
(
X
2 1
X
2 2
X 32 ).
不是
2.常用统计量
设X1, X 2,是,取X n自总体X 的一组样本, 计量有：
1.样本均值
X
1 n
n i1
Xi ,
其观测值记作
x
1 n
n i1
xi
.
常用统
2.样本方差
S 2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
,
其观测值记作
s2
1 n 1
n i1
( xi
计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值.
解：把上述10个数据逐个输入电子计算器或计算机中，
不难求得：
x
1 10
10 i1
xi
40.5.
s2
1 9
10 i1
( xi
x) 2
4.66.
~2
1 10
10 i1
( xi
x) 2
4.194.
注：当样本容量很大时，可使用统计计算软件在计算 机上进行计算.而相同的数据往往可能重复出现，为了 使计算简化，应先把所得的数据整理，设得到下表：
第五章 数理统计的基本知识
§5.2 样本函数与统计量
1.样本函数与统计量
设X1, X 2,是,取X n自总体X 的一组样本,
x1 , x2 , ,
xn 是观测值.
样本函数 ：以样本为自变量的函数.记 g ( X1 , X 2 , , X n ).
样本函数也是随机变量. 称 g ( x1 , x2 , , xn ) 为样本函 数 g ( X1 , X 2 , , X n ) 的观测值.
Vk
Байду номын сангаас1 n
n i1
X
i
k
其观测值记作 vk . 特别地， V1 X .
5.样本 k 阶中心矩
其观测值记作 uk .
U k
1 n
n
(Xi
i1
X
)k
特别地， U1 0 , U2
n 1S2 , n
记样本二阶中心矩的观测值为
~ 2
u2
n 1s2. n
若n充分大，~2 s2 .
由以上定义得下述结论:
频数 mi
1 3 6 14 4 1 1
30
数据只需分7次输入计算器即可算得，
x
1 30
7 i1
mi x(i)
253,
s2
1 29
7
mi
i1
( x(i )
x)
2
147.59
,
~2
1 30
7 i1
mi
(
x(i
)
x
)2
142.67
.
小结
1.有关概念：样本函数与统计量（注意两者的区别）
2.学会用计算器算出常用统计量的样本观测值.
1
n
n i 1
X
k i
P k
,
k 1, 2, ;
从而有
g(V1,V2 , ,Vk ) P g(1, 2 , , k ),
其中g 是连续函数. 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理
论根据.
[例1] 设抽样得到样本观测值如下：
38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.6
思考题
设总体 X ~ N,其中, 2和 都未 知,
从 X中抽取
样本X1 , X 2 , , X n ,则下列随机变量中为统计量的是:
n
(A) ( Xi ) 2 i1
n
(B) ( Xi X ) 2 i1
(C)
(n
1)S
2
2
(D)
n(X )
S
答案: (B) 统计量中不含任何未知参数.