导数的概念与运算创新试题赏析
河南省滑县第六高级中学王红敢
导数的应用比较广泛,对导数概念的理解和导数的运算是导数问题解决的根本,本文就一些新颖的试题，给大家做一个介绍.
例1．（06湖北）半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2
,周长C (r )=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则22R R ππ'（）
＝①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，
请你写出类似于①的式子 ：
②式可以用语言叙述为： .
解析：仿照①式，球的体积公式V 球＝343R π，表面积公式2
4S R π=,有
32443R R ππ''V (R)=（）＝ ，故○2式可填32443
R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.”
赏析:由题目所给条件的类比,通过合理的发散和联想,从二维的圆到三维的球,观察周长,面积,体积公式间的区别和联系,得出答案.
球的体积,表面积的 推导实质也是从极限的思想入手.本题考查了导数的某些实际背景,可借助如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等帮助理解和消化.同时也考查了类比的数学思想.
例2:水面上的同心圆波纹，水波的半径以6 m/s 的速度增大，在2s 末水波面的圆面积的膨胀率是___________.
解析：水波面的圆面积和时间的关系是S=236t π，
在2s 末水波面的圆面积的膨胀率是S '=72πt 在t=2时的导数 所以2144t S π='=
赏析：有膨胀率的这样一个我们不太熟悉的概念横在面前，问题的关键则是如何去理解这个概念.可从导数的定义及几何和物理方面的意义去理解,膨胀率同样是变化率，问题则是求水波圆面积从2s 到（2+x ∆）s 之间的平均变化率（0→∆x ），这个问题很显然是求导数的问题.
变化率在我们的生活中到处可见，如增长率、膨胀率、效率、密度、速度等，所反映的均是一种变化的情况, 高中微积分课程的核心价值就是变化率思想,导数则是描述事物变化率的数学模型，瞬时变化率就是导数.
例3．已知1()sin cos f x x x =+，记2132()(),()(),......,f x f x f x f x ''== 1()(),n n f x f x -'= (,2)n N n *∈≥，则122007()()......()222
f f f πππ+++=________． 解析：123()sin cos ,()cos sin ,()sin cos ,f x x x f x x x f x x x =+=-=-- 451()cos sin ,()sin cos (),......,f x x x f x x x f x =-+=+=
故原式=123()()()1222
f f f πππ
++=-。

赏析：在知识交汇处命题是高考的热点，本题将导数计算与函数的周期有机地融合到一块，不失为一道优秀的小型综合试题。

例4．利用导数求和S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)
解析:首先需要考虑x =1时
S n =1+2+3+…+n =
2
1n (n +1); 当x ≠1时， ∵x +x 2+x 3+…+x n =
x
x x n --+11
, 两边都是关于x 的函数，求导得
(x +x 2+x 3+…+x n )′=(x x x n --+11
)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1=21
)
1()1(1x nx x n n n -++-+ 赏析:本题从做法上来看,有让人耳目一新的感觉,导数还可以这样来用.当然在前面数列的学习中,可以采用错位相减法.分析本题具体的做法, 首先是要分x =1和x ≠1讨论,否则做的也是错的,其次通过构造函数()n f x x =,其导函数为1()n f x nx -'=,由此建立联系, 抓住数列通项的形式结构,进行联想,运用逆向思维, 由求导公式(x n )′=nx n －1,想到它们是另外一个和式的导数.最后两边同时求导,得到结果.
这些试题它们的共同点在于往往不是以知识为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法、原理融于一体，这类问题的解决策略在于熟练地化归分解问题，运用、类比、联想、构造、发散等数学思想方法，进行全方位、多层度的探索与实验,读懂题意，转化为数学问题并正确求解.。