数学测评 一．问题求解（本大题共15题，每小题3分，共45分，在每小题的五项选择中选择一项）1.一艘小船在江上顺水开100km 需要4小时，在同样的水速下，逆水开90km 需要6 小时，那么这艘小船在静水上开120km 需要（ ）小时A.4B.4.5C.5D.6E. 72.已知自然数a ，b ，c 的最小公倍数为48，而a 和b 的最大公约数为4，b 和的c 最大公约数为3，则a+b+c 的最小值是（ ）A.55B.45C.35D.31E.303.园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离栽树。

他们先沿着花坛的边每隔 3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一棵树。

这样，他们还要挖( )个坑才能完成任务.A ．43 个B ．53 个C ．54 个D ．55 个 E.604.现有一个半径为R 的球体，拟用创床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体积是（ ）5.已知甲走5步的时间，乙只能走4步，但是甲走5步的距离，乙走3步就行了，让甲先走20步，乙再追他,乙要追上甲需要走（ ）步A. 24B. 36C. 42D.48E.606.某城市修建的一条道路上有14只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三只灯，但不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有多少种（ ）A.310CB. 310AC.311CD.311AE.312C7.把8个乒乓选手分成两组，每组四人，则甲乙两位选手在同一组的概率为（ ）A.1/7B.2/7C.3/7D.4/7E.5/78.若等差数列{}n a 满足12537=-a a ，则=15S ( )图1 图210.如图2，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，，若AB ＝10，CD ＝6，那么A,B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）A.6B.7C.8D.9E.1011.某学校134名学生到公园租船，租大船要60元，可以坐6人，租小船需要45元，可以坐4人.要使所有学生都坐上船，租金最少是（ ）A.1320B.1330C.1350D.1365E.138012.若三次方程023=+++d cx bx ax 的三个不同实根1x ，2x ，3x 满足：0321=++x x x ，0321=x x x ，则下列关系式中一定成立的是（ ）A.ac=0B.ac ＜0C.ac ＞0D.a+c ＜0E.a+c ＞013.将25克白糖放入空杯中，倒入100克白开水，充分搅拌后，小明先喝去一半糖水，又加入36克白开水，若使杯中的糖水和原来的一样甜，需加入（ ）克白糖A.8B.9C.10D.11E.1214.用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有( )个 A.9 B.12 C.18 D.24 E.3615.过点（1,2）总可作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则实数k 的取值范围（ ）A.k ＞2B.-3＜k ＜2C.k ＜-3D.k ＞2或 k ＜-3E.无法确定二.条件充分性判断（本大题共10小题，每小题3分，共30分）解题说明：本大题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。

阅读条件（1）和（2）后选择：A:条件（1）充分，但条件（2）不充分B:条件（2）充分，但条件（1）不充分C:条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 D:条件（1）充分，条件（2）也充分E:条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分16.整个队列人数是57人（1）甲，乙两人排队买票，甲后面有20人，乙前面有30人（2）甲，乙两人排队买票，甲乙之间有5人17.M=2（2）圆O 的方程为122=+y x24.△ABC 是等边三角形（1）△ABC 的三边满足ac bc ab c b a ++=++22225.方程053222=+--a x ax 的一个根大于1，另一个根小于1（1）a ＞3 （2）a ＜01选D.依题意，可列写如下方程：1004=⨯+）（水船v v ，906=⨯-）（水船v v ，解方程得20=船v ，120/20=6.2.选D.a ，b ，c 最小公倍数是48，所以它们都是48的约数，则a ，b ，c 只能在1，2，3，4，6，8，12，16，24，48中取值，又∵a ，b 最大公约数是4；b ，c 最大公约数是3；∴b 的最小值是12，c 最小值为3，a 的最小值是16，则a+b+c 的最小值=12+3+16=31．3.选C.3×29/3×5=5 ,余数是12,则原先有5＋1＝6个坑有效 则剩下还需要挖300/5-6=54个.4.选B.球的直径即为正方体的对角线。

设正方体的边长为a ，球半径为R ，所以R a 32=，体积33393832R R a V =⎪⎭⎫ ⎝⎛== 5.选D.设甲每步走3m ，乙每步走5m ，设乙走了4x 步追上甲，那么甲又走了5x 步，依题意有：4x*5-5x*3=20*3，解得x=12，所以乙走了48步。

6.选A.14盏路灯，由于两端的灯不能熄灭，因此只有l2盏路灯可以熄灭，熄灭以后剩下9盏亮的和3盏灭的，要使熄灭的灯互不相邻，那么可以用“插空法”，将3盏灭的插到9盏亮的所形成的10个空位中即可满足条件。

因此，熄灯的方法有310C 种。

7.选C.八人平均分成两组，35224448=A C C 。

甲乙在同一组,1526=C ,15/35=3/7. 8.选 D.d a d a d a a a 284)2()6(5511137+=+-+=-=12，即3781==+a d a ，452152215)(815115=⨯=⨯+=a a a S 。

9.选 A.设BC=1，AC=2.根据相似三角形的关系可以求出第一个正方形的边长为2/3，面积为4/9.依此类推。

第二个正方形的边长为4/9，面积为16/81。

第n 个正方形的边长为n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32，第n 个正方形的面积为n⎪⎭⎫ ⎝⎛94.....由无穷递缩等比数列的求和公式得5494194...94...94949432=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n S 。

正方形面积为 1.所以面积比为4/5.10.选C.过O 作OH 垂直CD 交CD 于H ，分别作AE,BF 垂直于CD 交CD 的延长线于E.F 。

那么AE+BF=2OH=8.(OH 可由勾股定理求得)11.选C.60除6=10.45除4大于10.所以组大船比较合算。

两种方案。

一种：22个大船坐满，剩2人坐小船：22*60+45*1=1365元。

另一种： 21个大船坐满，2个小船坐满：21*60+45*2=1350元。

12.选B.由三实根不同以及0321=x x x ，可得有一个跟为0，不妨设03=x ，代入该三次方程，可得d=0，该方程化为0)(2=++c bx ax x ，所以21x x 和是02=++c bx ax 的两个不同实根，又0321=++x x x ，03=x ，所以21x x 和异号。

根据韦达定理，ac ＜013.选 B.一开始喝掉一半后的糖：水=25:100=1:4故之后加的糖和水也是1:4=9:36即加了9克白糖。

14.选C.由于相同的数字不能相邻，所以1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法。

根据分步计数，故共可组成3×3×2=18个不同的四位数．15.选 D.过点（1,2）总可作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，说明点（1,2）在圆外，将点（1,2）代入圆的方程，结果必大于0.即0152222>-++++k y kx y x （当x=1，y=2时）。

解方程得k ＞2或 k ＜-3 。

16.选E.由于不知道甲乙的前后位置顺序，所以即使两个条件联合起来，也无法推断整个队列的人数。

17.选B.显然，条件（1）不充分；条件（2）2)(2=++++=+=+=+z y x z y x y z x x z y z y x 的前提条件是分母不能为0，充分18.选A.含有绝对值的不等式求解。

基本方法是分段去绝对值符号，得到解集为432><x x 或。

19.选A.对于条件（1），有363324=A C ；条件（2）3314A C =24 20.选E.显然单独都不充分，考虑联合。

设做对了x 个题目，有55)15(58=--x x ，x=10.也不充分。

21.选B.条件（1）,3位男生，3位女生排成一排,有6！种方法；恰好3位女生排在相邻位置，有4!*3!种方法。

概率P=4!*3!/6！=1/5.条件（2）5封信随机投入甲，乙两个空信箱，有52种方法；每个信箱都有信，有3045352515=+++C C C C ,概率P=15/16.22.选D.条件（1）第一次追上B 的时候，B 跑了2圈，A 跑了3圈，充分。

条件（2）A 背道而驰直至两人再次相遇，刚好跑了一圈。

A 跑了3/5圈，B 跑了2/5圈，充分。

23.选C.显然需要联合考虑。

设k x y =++21，化简后得到12-+=k kx y 。

当相切时，有111222200=+-=+++=k k b a cby ax d ，解得k=0或4/3.最大值为4/3，充分。

24.选D.条件（1），由ac bc ab c b a ++=++222可得()()()0222=-+-+-a c c b b a ，所以a=b=c ，充分。

条件（2），由162462-=-+-a c a a 得04)4(2=-+-c a ，所以a=b=c=4，充分。

25.选D.0)1(2<af 得a （3-a ）＜0，所以a ＜0或a ＞3。