损最小的模型上加入了对电压偏移量的限制，在一定
程度上弥补了传统模型的一些不足，也是在实际中应
用比较广泛的一种优化模型。
3 无功优化算法
对于电力系统无功优化问题，国内外学者做了大 量的研究，提出了很多优化算法来解决这一问题。总 的来说，这些算法大致可分为传统优化算法、人工智能 优化算法和混合优化算法三大类。 3. 1 传统优化算法
关键词： 电力系统； 无功优化； 数学模型； 优化算法
中图分类号： TM71
文献标识码： B
A Summary of a Reactive Optimization Method of the Power System
CHENG Cui-wei，LIU wei，DENG xiao-xun （ Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）
《电气开关》（ 2011． No． 6）
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文章编号： 1004 － 289X（ 2011） 06 － 0001 － 05
电力系统无功优化方法综述
程翠微，刘巍，邓小训 （ 西南交通大学电气工程学院，四川 成都 610031）
摘 要： 在电力系统中，无功电源的合理规划运行是电力系统安全经济运行的保障。衡量电能质量的一个重要指
无功优化是从最优潮流的发展中逐渐分化出的一 个分支问题。随着当今社会的高速发展，电网规模日 益扩大，各界的电力需求不断增长，电力市场化的程度 也不断提高，电力系统的安全稳定运行越来越受重视。 通过有效的无功调节手段，可以保证系统的安全稳定 和经济运行，相关方面的内容一直是国内外学者们致 力研究的问题。
值，QGimin 、QGimax 分别是发电机节点 i 的输出无功 QGi 的 下限值和上限值，根据发电机受到励磁绕组温升以及
发电机进相运行时定子端部温升、并列运行稳定性等
约束条件而定； QCimin 、QCimax 是并联补偿电容器组的补 偿容量 QCi的下限和上限值，按照补偿功率因素的要求 或装设补偿容量的资金要求而定，同时补偿前此节点
Ui ，Uj 分别为节点 i，j 的电压幅值，θij 为 Ui ，Uj 之间的
相角差。
模型的约束条件包括有等式约束和不等式约束。
等式约束即是潮流方程等式，表示如下：
Σ Pi － Ui Uj （ Gij cosθij + Bij sinθij ） = 0
（ 2）
j∈N
Σ Qi － Ui Uj （ Gij sinθij － Bij cosθij ） = 0
已有的 无 功 补 偿 装 置 也 应 该 加 进 来 参 与 运 行 决 策；
Timin 、Timax 为第 i 台可调变压器的调节抽头档位的下限 和上限，通常情况下，要求同一变电站下的各台并列运
行的主变的抽头档位一致。
系统有功网损最小是无功优化最常用的目标函
数，该模型简单易于实现，是进行各种无功、电压优化
灵敏度分析法的核心是通过牛顿拉夫逊潮流计算 中的雅可比矩阵来得到反映系统状态变量与控制变量 关系的灵敏度关系矩阵。进行电力系统无功优化时， 利用灵敏度关系矩阵可以很方便地引入各种约束条 件，并能较好地实现系统有功网损最小的优化目标。
为了省去了灵敏度关系矩阵形成过程中的求逆运 算，以 节 省 优 化 计 算 时 间 和 内 存 空 间，J. Qiu 和 S. M. ShahidehPour 把变压器变比的增量处理为节点电 压增量的函数，把各节点电压增量作为控制变量，把节 点无功增量作为状态变量，以提高电压稳定裕度和降 低有功网损为优化目标函数，优化过程中利用一个修 正的雅可比矩阵消去了状态变量，从而简化了计算； 但 该算法对 初 值 的 要 求 比 较 严 格，且 存 在 振 荡 现 象［2］。
考虑到无功优化问题本身具有非线性，使用非线 性规划法（ Nonlinear Programming） 进行电力系统的无 功优化便是理所当然的。比较具代表性的非线性规划 法是简化梯度法和牛顿法。
简化梯度 法［4］ 的 基 本 思 想 是 沿 着 目 标 函 数 值 下 降速度最快的方向进行寻优，以快速搜索到目标函数 的极小值。简化梯度法原理简单，程序设计简单，对初 始值要求不高，使用起来比较方便； 但在计算过程中容 易出现锯齿现象，算法收敛性较差，尤其在接近极点时 收敛速度很慢。
一般来说，对无功优化的研究主要体现在两个方面， 一是优化模型的建立，由目标函数和约束条件组成，不同 的目标函数构成了不同的优化模式； 二是优化算法的确 定，不同的算法的优化性能不尽相同，根据实际情况选择 合适的优化算法，对无功优化的结果有较大的影响。
2 无功优化的数学模型
电力系统无功优化的数学模型根据目标函数的不 同而有所不同。一般来说，用得比较多的是经典的考 虑网损最小的经济模型，还有考虑了电压质量的优化 模型。下面将分别加以介绍。 2. 1 有功网损最小的优化模型
《电气开关》（ 2011． No． 6）
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何加坤和张庆安则用全面敏感度分析法建立了电力系 统无功优化配置的线性逼近模型，首次提出了求取灵 敏度关系矩阵的控制变量“摄动法”，并分析了摄动量 与线性逼近的关系［3］。
线性规划法是比较成熟的传统优化算法，其物理 概念清晰、数学模型简单直观、计算速度较快； 但是，由 于对系统的实际优化模型进行了线性化的近似处理， 并且对离散变量也作了连续化处理，因此使用线性规 划法的计算结果往往与电力系统的实际情况有一定差 异。 3. 1. 2 非线性规划法
控制的基础。
2. 2 考虑电压质量的优化模型
考虑电压质量的优化模型，以节点电压偏离规定
值最小为目标，用电压与指定电压的偏差作为目标函
数，力求使电压保持在满意的水平上。这种模型可以
用式（ 8） 表示：
Σ ( ) N
minf = min
Ui
－
Uspec i
2
i =1
ΔU
max i
（ 8）
式中，U si pec
为 节 点 的 期 望 电 压 幅 值，通 常 取
Uspec i
=（
Uimax
+ Uimin ）
/
2
，ΔU
max i
为负荷节 i 点允许的最大电
压偏差，ΔU
max i
=
Uimax
－
Uimin 。
同样，该模型也须满足等式约束和不等式约束条
件，同式（ 2） ～ （ 7） 。
考虑了电压质量的优化模型在传统的单纯考虑网
QCimin ≤UCi ≤UCimax ，i∈NC
（ 6）
Timin ≤Ti ≤Timax ，i∈NT
（ 7）
式中： N、NG、NC、NT 分别为所有节点集，发电机节
点集，无 功 补 偿 节 点 集 和 有 载 调 压 变 压 器 支 路 集。
Uimin 、Uimax 分别是考虑用电设备和电力系统安全稳定 运行需要的节点 i 的允许电压幅Байду номын сангаас的下限值和上限
从 20 世纪 60 年代开始，一些学者在电力系统无 功优化的计算中，逐渐运用运筹学方法及其分支学科， 由此产生了一系列常规的数学优化算法。传统优化算 法的种类很多，下面主要介绍线性规划法、非线性规划 法、混合整数规划法、内点法这几种。 3. 1. 1 线性规划法
线 性 规 划 法 （ Linear Programming） 是发展比较 成熟的优化算法，其原理是将优化问题的目标函数和 约束条件全部用泰勒公式展开，然后略去高次项，把非 线性规划问题在初值点附近转化为线性规划问题，然 后用线性逼近的方法来求解无功优化问题。Hobson E 等学者用线性规划法来求解无功优化问题，取得了很 好的效果［1］。 比 较 经 典 的 线 性 规 划 方 法 是 灵 敏 度 分 析法。
标是系统的电压水平，而系统的无功平衡是保证电压水平的基本条件。对电力系统进行无功优化，就是通过调节
相关控制变量，使无功潮流达到合理的分布，以此来保持系统的电压水平和提高系统的电压稳定性，并降低有功
网损。介绍了电力系统无功优化的常用数学模型和优化算法，对相关的一些研究内容作了总结，并分析讨论了各
种模型和算法的优缺点，是对无功优化的一个综述。
混合整数规划法（ Mixed － Integer Programming） ， 顾名思义，其方法是先确定整数变量，然后再与线性规 划法协调处理连续变量。前面所介绍的线性规划和非 线性规划法均没有对离散变量进行精确的处理，而混 合整数规划法刚好解决了这一问题，其数学模型也能 够比较准确的反映无功优化的实际情况； 但是由于是 分两步进行优化，消减了混合整数规划法的总体最优 性，而且求解过程中时常有振荡发散现象发生，并且该 算法的计算过程十分复杂，计算量很大，计算时间随着 维数的增加会急剧增加。所以，完善这一方法的关键
有功网损最小的优化模型的目标函数用下面的式
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《电气开关》（ 2011． No． 6）
子表示：
Σ minPLoss =
Gk （ U2i + U2j － 2Ui Uj cosθij ） （ 1）
k∈Ne
式中： PLoss为系统有功网损； Ne 为网络支路集合； k
为支路号； i，j 为支路 k 两端节点号； Gk 为支路的电导；
（ 3）
j∈N
式中，Pi 是节点 i 的注入有功功率； Qi 是节点 i 的
注入无功功率； Gij 是节点之间的电导； Bij 是节点 i，j 之
间的电纳； N 是节点总数。
不等式约束表示如下：
Uimin ≤Ui ≤Uimax ，i∈N
（ 4）
QGimin ≤UGi ≤UGimax ，i∈NG
（ 5）
Abstract： In a power system，the rational planning operation of reactive power is a safe and economic guarantee of the