构造法在初中数学解题中的应用【摘要】构造法是一种重要的数学解题方法，在解题中被广泛应用。
构造法是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，特别是有些问题，用构造法更简捷明了。
本文简单阐述了构造法的概念，重点论述了构造在初中数学解题中的运用。
【关键词】构造法数学解题应用波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。
”解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。
在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。
构造法就是这样的手段之一。
本文将对构造法及其在中学数学中的应用做简单探讨，通过示例，不断加深对构造法的理解。
一、对“构造法”的概述与基本特征构造法是根据题设的特点，用已知条件中的元素作为“元件”，用已知的关系式为“支架”，通过观察、联想，采用新的设计，构造出一种新的问题形式，从而绕过解题障碍，使问题得到解决的一种方法。
在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造.构造法的基本特征如下：1.对所要讨论的问题给出了较为直观的描述；2.不但回答了提出的问题，而且构造出具体的结果。
二、构造法在解题中的应用1．构造函数在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。
构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。
在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。
例1：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品，共50件。
已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （2）设生产A 、B 两种产品获总利润为y （元），生产A 种产品x 件，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解：（1）设需要生产A 种产品x 件，那么需要生产B 种产品()x -50件，由题意得：解得：3230≤≤x ，x 是正整数，30=∴x 或31或32，∴有三种生产方案：①生产A 种产品30件，生产B 种产品20件； ②生产A 种产品31件，生产B 种产品19件； ③生产A 种产品32件，生产B 种产品18件；（2）由题意得：()60000500501200700+-=-+=x x x y ，y 随x 的增大而减小，∴当x =30时，y 有最大值，最大值为：y =45000（元），答：y 与x 之间的函数关系式为：60000500+-=x y ，（1）中的方案①获利最大，最大利润为45000元。
例2：求函数 x x y -+=1的最大值.解：由根号下的式子看出11=-+x x 且10≤≤x ，故可联想到三角函数关系式并构造2sin x θ= )20(π≤≤x ，所以sin cos )4y x x πθ=+=+，当4πθ=即21=x 时，max y =2.构造方程方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。
根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解。
构造方程是初等代数的基本方法之一。
如列方程解应用题，求动点的轨迹方程等即属此法.构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤：A .将所面临的问题转化为方程问题；B .解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论； C .将方程的相应结论再返回为原问题的结论。
（1）某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“一元一次方程”求解，从而获得问题解决.例3：设c b a >>且1=++c b a ，1222=++c b a ，求b a +的范围. 解：由1=++c b a 得c b a -=+1 （1）将（1）的两边平方并将1222=++c b a 代入得c c ab -=2 （2） 由（1）（2）可知，b a ,是方程()()0122=-+-+c c x c x 的两个不等的实根 于是()()012341222>++-=---=∆c c c c c解得：131<<-c 即：()1131<+-<-b a 341<+<∴b a（2）有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造“一元二次方程”，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
例4：已知实数x 、y 、z 满足,9,52-+==+y xy z y x 求z y x 32++的值。
思考与分析：根据本题的题设可能使我们联想到韦达定理，但仍需进行合理的变形，才能构造出方程组去求解。
解：由已知可得：()()⎩⎨⎧+=+=++9612z y y x y x 以1+x 、y 为两实数根，构造方程09622=++-z t t方程有实数根∴()()04946222≥-=+--=∆z z由此得到02=z ，且0=∆∴方程0962=+-t t 有两个相等的实数根 ∴321==t t于是31==+y x∴3=x ，3=y ，0=z ∴8032232=+⨯+=++z y x3.构造几何图形（1）对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决。
增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
例5：已知：10<<a ，10<<b , 求证：()()()()22111122222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a .分析：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。
证明：如图1:作边长为1的正方形ABCD ,在AB 上取点E ，使AE =a ；在AD 上取点G ，使AG =b ，过EF //AD 交CD 于F ；作GH //AB 交BC 于H .设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD .由题设及作图知AOG ∆、BOE ∆、COF ∆、DOG ∆均为直角三角形，因此22b a OA +=22)1(b a OB +-= 22)1()1(b a OC -+-= 22)1(b a OD -+=且2==BD AC 由于.,BD OD OB AC OC OA ≥+≥+所以：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a 当且仅当21==b a 时，等号成立。
2、在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
例6：如图2：Rt ABC ∆中,直角∠C 的平分线CE 与斜边的中垂线线DE 交于E , 求证：DE CD =.思考与分析：由已知条件和图形联想到AB 是Rt ABC ∆的外接圆⊙D 的直径，只需作⊙D ，证明点E 在圆上即可。
证明：作Rt ABC ∆的外接圆⊙D ，则AB 为直径，D 为圆心。
图1F图2∵DE 垂直平分AB ∴DE 通过弧AB 的中点 ∴CE 是∠ABC 的平分线 ∴CE 也通过弧AB 的中点∴DE 、CE 的交点必为弧AB 的中心 即E 点在⊙D 上， ∴DE CD = 4、构造特例、反例在解题中，我们可以考虑问题中的特殊情形、极端情况、特例、反例，这也是我们解决问题的一种方法，特别对于一些假命题的证明，经常通过构造一个符合命题条件但结论不成立的例子来证明即可。
例7：a ，b ，c 都是实数，考虑如下命题： （1）若02>++c ab a ，且1>c ，则20<<b ； （2）若1>c ，且20<<b ，则02>++c ab a ； （3）若20<<b ，且02>++c ab a ，则1>c ；试判断哪些命题正确，哪些命题不正确。
对你认为正确的命题给出证明；认为不正确的命题，用反例予以否定。
分析：命题（1）不正确，构造反例如下：令4=b ，5=c ，此时()01254222>++=++=++a a a c ab a 且1>c ，满足条件，但结论20<<b 不成立。
命题（2）成立：证明：()()()=+-++=++c b b a b a c ab a 22225.05.05.02()()b c b a 25.05.02-++，因为20<<b ，所以5.025.00<<b 且1>c ，025.0>-b c ，因此()()025.05.05.0222>-++=++=++b c a a a c ab a .即命题成立。
命题（3）不成立：令1=b ，5.0=c ，此时20<<b ，且=++=++5.022a a c ab a ()025.05.02>++a 满足条件，但结论1>c 不成立。
例8：证明以下命题为假命题：若两个三角形的三个内角和三条边六个元素中有五个元素分别相等，则这两个三角形全等。
思考与分析：只要构造的一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子即可。
证明：如图3，ABC ∆和DEF ∆中，使12==DE BC ，18==EF AC ，8=AB ，27=DF .∴32===DF AC EF BC DE AB图3ABC ∆∽DEF ∆∴∠A =∠D ∠B =∠E ∠C =∠F即ABC ∆和DEF ∆满足五个元素分别相等，但它们不全等。
故该命题是假命题。
从以上各例不难看出，构造法解题有着你意想不到的功效，问题很快便可解决。
构造法解题重在“构造”, 通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。
因此，在解题时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想，就会得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解。
运用构造法解题能培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力，也可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣。