元素的确定性如：世界上最高的山()，咱们班级学习好的学生 ()
元素的互异性如：由HAPPY 勺字母组成的集合｛｝ 元素的无序性：如：｛a,b,c ｝和｛a,c,b ｝是表示个集合
3•元素与集合的关系一一(不)属于关系，用符号。
(1) 集合用的拉丁字母…表示
元素用的拉丁字母…表示
(2) 若a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A,记作;
若不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A,记作
4.集合的表示方法：列举法与描述法。
(1)列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集
合的方法，格式：如含有a,b,c,d 四个元素的集合是 适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示
(2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
格式：｛x|x 满足的条件｝ 例如|x-3>2用集合表示 适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示
注意：常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作：N=｛0,1,2,3，…｝ 正整数集N*或N+=｛1,2,3，…｝
整数集｛…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…｝ 有理数集 实数集
有时，集合还用语言描述法和 Venn 图法表示 例如：语言描述法：｛不是直角三角形的三角形｝
Venn 图:
、集合有关概念 1.
集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性:
(1)
4、集合的分类:
（1）有限集含有元素的集合 （2）无限集含有个元素的集合 ⑶ 空集不元素的集合
例：{X € R|X 2=— 5}
、集合间的基本关系
定义：若对任意的x € A ,都有x € B,则称集合A 是集合B 的子集,
记为AB （或AB ）
注意：①A B 有两种可能（1） A 是B 的一部分，；（2） A 与B 是
同一集合。
②符号€与的区别
反之：集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或
2•“相等”关系：A=B
定义：如果A?B 同时B?A 那么A=B
实例：设 A={x|x 2-1=O}B={-1,1}
合B 的真子集，记作AB （或 BA ）
4.性质
②如果A?B,B?C,那么AC ③如果A?B 同时B?A 那么AB
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
“元素相同则两集合相等”
3.真子集:如果A?B,且存在元素
x € B,但x A,那么就说集合A 是集
①任何一个集合是它本身的子集。
A?A
5.不含任何元素的集合叫做空集, 记为
例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (3)
练习： 考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说 明理由： (1)
(2) (3) (
4) 二. 有关元素与集合的关系的问题： 确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还 要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。
定义 由所有属于A 且属于B
的元素所组成的集合， 叫做A,B 的交集.记作
A B (读作‘ A 交B'),
即 A B= {x|x A ,且
x B }.
韦 恩 图 示
A=A ①二①
B=B A
A?B< = > A B=A 由所有属于集合A 或 属于集合B 的元素所 组成的集合，叫做
A,B 的并集.记作： A (读作’A 并B'),
即 A B={x|x
A,或
x B}).
A=A ①=A
B=B A
A?B< = > A B=B
设S 是一个集合，A 是S 的一个子 集，由S 中所有不属于A 的元素 组成的集合，叫做S 中子集A 的 补集(或余集) 记作C s A ，即
C S A={x|x S 且x A
(C u A) (C u B)=C U (A B) (C u A) (C u B)=G(A B) A (C u A)=UA (C u A)二①.
大于等于1,且小于等于100的所有整数；() 方程x 2=4的实数根；()
平面内所有的直角三角形；() 正方形的全体；() n 的近似值的全体；() 平面集合中所有的难证明的题；() 着名的数学家；() 平面直角坐标系中x 轴上方的所有点。
()
平面直角坐标系内x 轴上方的一些点；
平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点; 平面内两边之和小于第三边的三角形
新华书店中意思的小说全体。
2
例：集合A=｛y|y=x 2+1｝,集合B=｛(x,y)|y=x 2+1｝,(A 、B 中x € R,y € R)选项中元素与集合之间的 关系都正确的是()
A 2€ A , 且 2€ B
B ( 1,2 )€ A ,且(1,2 ) € B
C 、2€ A 」(3,10 ) € B
D ( 3,10) € A , 且 2€ B 练习：
；n Q 0R +； 1｛ (x,y ) |y=2x-3｝ ; -8Z;
三. 有关集合中元素的性质的问题：
1. 已知集合A=｛x|ax 2+2x+1=0,a € R ｝, (1)若A 中只有一个元素，求a 的值；⑵若A 中至多有 一个元素，求a 的取值范围。
四. 集合的表示法：
1.用列举法表示下列集合。
(1) 方程2+y 2=2的解集为； x-y=0
(2) 2. 用
描述法表示下列集合。
(1) 大于2的整数a 的集合；
(2) ----------------------- 使函数y= 1
有意义的实数x 的集合；
x x 1 x 1
2 2 2
(3) ｛1、2、3、4、-・・｝
3. 用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：
(1) A=｛四边形｝ , B=｛梯形｝ , C=｛平行四边形｝ , D=｛菱形｝ , E=｛矩形｝,F=｛正方形｝ 六.集合概念的综合问题： 练习
课后作业：
1.判断下列各组对象能否组成集合：
不等式3x 2 0的整数解的全体; 我班中身高较高的同学；
2. 用符号或填空:
(2) 0.
集合A=｛y|y=x 2
-1,|x| < 2,x € Z ｝用列举法表示为； 集合B=｛丄 € Z|x € N ｝用列举法表示为；
1 x
集合C=｛x|= LH + L^ , a , b 是非零实数｝用列举法表示为；
a b
(3) (4) (3) 直线y 2x 1上所有的点; (4) 不大于10且不小于1的奇数。
(4)
a,b,c
(5) 0.
⑹2^3
n
2
1,n N *
(8)
1,1
(9)
1,1
x, y y
x
2
3.写出下列集合中的元素(并用列举法表示)：
2
(1)既是素数又是偶数的整数组成的集合 (2)大于10而小于20的合数组成的集合
A 0 个
B 、1 个 CC
7.用适当的符号填空：
① a _____ a,b, C ② 0
8.判断下列两个集合之间的关系:
1,2,4
4.用适当的方法表示: (1) (X + 1)2
= 0的解集; (2) 方程组X y 0的解集; (3) (4) (5) (6) 方程3x — 2y + 1 = 0的解集； 不等式2X — 1> 0的解集； 奇数集；
被5除余1的自然数组成的集合。
5.集合{1 , a)中a 的取值范围。
有关子集以及子集个数的问题: 例1:判定以下关系是否正确
(1){a} {a}(2){1 , 2, ⑷0 € {0} (5) ={0} 例2:列举集合{1 , 2, 例3:已知{a 、b} A 3} = {3 , 2, 1}(3)工{0} (6) € {0} 3}的所有子集. C 、d},则满足条件集合A 的个数为 {a 、b 、
A. 1个个个个 3 .满足条件{0 , 1}工M {0 , 1, 2，3，4}的不同集合M 的个数是 A. 8个个个个 4
.设 I={0 , 1, 2, 3, 4, 5}, ①0 ________ A ②{0}
A={0, 1, 3, 5}, B={0},则: B ③C A (CB A 组 1. 写出集合{1 , 2, 3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
2. 下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子 集；④若 A ，则A。
其中正确的有()
④0,1
⑥2,1
X X 2 3x 2 0
X R X 2 1
3k,k N , B X X 6z, z N
20m,m N , B x X 是4与10的公倍数
11.试写出满足条件？Q|M|g| 0,1,2的所有集合M
12.写出满足条件0 M 9| 0,1,2的所有集合M
1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若馆A，则A ?其中正确的是（）
1个C、2个D 3个
7.已知U 1,234 , A 1,3 ,则C u A
8.已知U 1,3 , A 1,3 ,则C U A。