n n1
n 1
而
lim
n
sn
lim (1
n
1) n 1
1
此级数收敛，和为 1.
二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数 n1收un敛于和s，n则1k它un的各项同
乘以一个常数k所得的级数
也收敛，
且其和为ks.
性质2 如果级数 、un 分别vn
收敛于 s和 n 1
n 1
即
un u1 u2 un s
调和级数
1是发散的
;
n1n
p 级数n1n1p也发散 .
(2)当p 1时，
1
n 1n
p
1
(
1 2p
1 3p
)
(
1 4p
1 5p
1 6p
1 7p)
1
( 8
p
1 15 p
)
它的各项均不大于级数
1
(
1 2p
1 2p
)
(
1 4p
1 4p
1 4p
1 4p
)
(81p
1 8p
)
的对应项.
后一级数是几何级数，公比q
则有：若 发vn散，则
n 1
也 发un 散;
n 1
且当 n 时N，有
un kvn (k 0)
成立，
则有：若 收vn 敛，则
n 1
也收un敛.
n 1
例2 判定p-级数
1
n 1n
p
1
1 2p
1 3p
1 np
的敛散性.常数 p>0.
解 (1)设p 1时,
Q 1 1 , 由比较判别法知 , np n
定理1 正项级数 收un敛的充分必要条件是：它
n 1
的部分和数列{sn}有界.
例1 证明级数
n11
1 2n
1
1
2
1
1 22
1
1 2n
收敛.
证明:这是一个正项级数，其部分和为:
sn
1
1
2
1
1 22
1
1 2n
1 2
1 22
1 2n
1
1 2n
1
故{sn}有界，所以原级数收敛.
二、正项级数收敛的比较判别法
注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括 号后级数收敛，原级数未必收敛.
推论：如果加括号以后所成的级数发散，则 原级数也发散.
性质5 (收敛的必要条件)如果
级数 un u1 u2 un
n 1
收敛，则它的一般项 u趋n 于零，即
lim
n
un
0
结论：由此我们可得
(1)若 un收敛，则其通项un趋于零；
第二节 正项级数及其敛散性
一、正项级数及其收敛的充要条件 二、正项级数收敛的比较判别法 三、正项级数收敛的比值判别法
一、正项级数及其审敛法
定义 设级数
u1 u2 un
(1)
的每一项都是非负数,即un 0, 则称此级数是
正项级数.
显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加
的，即
s1 s2 s3 sn
定理2(比较审敛法)设 u和n
n 1
且
un vn (n 1,2, )
都 是vn正项级数，
n 1
若级数
v收n 敛，则级数
收u敛n ；
n 1
n 1
反之，若级数 u发n 散，则级数 也v发n 散.
n 1
n 1
推论
设级数
u和n
是 v两n 个正项级数，且存
n 1
n 1
在自然数N，使当 时n， N有
（un k>kv0n)成立，
1 1 1
n(n 1) n n 1
Sn
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(1 n
1) n 1
1 1 n 1
我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和
的基础.
由级数(1)的前n项和，容易写出：
s1 u1 s2 u1 u2
sn u1 u2 un
这样，就得到数列{sn } s1, s2 , , sn ,
1 2 p1
1,
所以此级数收敛.
n1n1p收敛.
由此可得结论，p级数
1
n 1n
p
当 p 时1发散，p>1时收敛.
例 3 判定级数
1 1 1 1 L 1 L 的敛散性.
nn
n1
2n 3n
nn
解Q 1 1 ,
nn
2n1
而
级数
n 1
21n1收敛于2,
n1
1 nn
也收敛，且其和小于2.
例4 证明级数
n1
其中第n项un叫作级数的一般项或通项.
级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作
Sn.即： n Sn u1 u2 u3 un uk k 1
例如 级数 1 1 1 的 1 2 23 3 4
一般项
un
1 n(n 1)
它的前n项和
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n 1)
1
是发散的.
n1 n(n 1)
证明 Q n(n 1) (n 1)2
1 n(n 1)
(n
1 1) 2
1 1 n(n 1) n 1
而级数
1
1 1
1
是发散的；
n1n 1 2 3
n 1
由比较判别法可知，所给级数也发散.
第一节 无穷级数的概念与性质
一、无穷级数的概念 二、无穷级数的性质
一、无穷级数的概念
定义1 若有一个无穷数列
u1，u2，u3， ，un，
此无穷数列构成下列表达式
u1 + u2 + u3 + + un +
(1)
称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常
数项)级数，记为
un u1 u2 u3 un
n 1
(2)通项un不趋于零，则 un 发散；
n 1
(3)通项un趋于零, un不一定收敛.
n1
通项un 趋于零是 un收敛的必要条件.
n1
例 3 判定级数
n 1 2 3 L
n1 n 1 2 3 4 解 Q lim n 1 0
n n 1
级数
n 发散.
n1 n 1
的敛散性.
注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.
例1 判定级数
1
1 1 1
1
的敛散性.
n1n(n 1) 1 2 2 3 3 4
n(n 1)
解：un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
sn
1 1 12 23
1 (n 1) n
1 (n 1) n
(1 1) (1 1) (1 1 ) 1 1
2 23
定义2 如果级数 u部n分和数列
限s，即
n1

{sn有}极
lim sn s
n
则称无穷级数
u收n敛.s称为此级数的和.
n 1
且有
s u1 u2
un
,
若 {sn无}极限，则称无穷级数 发散un.
n 1
注意: rn s sn un1 un2 ,
称为级数的余项，
sn为 rn代替s所产生的误差 .
n 1
vn v1 v2 vn
n 1
则级数 (un vn ) (u1 v1) (u2 v2 )
n 1
其和为 s
(un vn ) 也收敛，
性质3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响
级数的敛散性.
性质4 如果级数 收un敛，则对这级数的项任
n 1
意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.