克服Rieman积分的缺陷的新思路：
yi yi-1
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi 的“长度”
max{ yi yi 1}
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
0
3.学习《实变函数与泛函》的方法 （三）
由于《实变函数与泛函》高度抽象、理 论性强，对于每一个尚未证明的结论都应持谨 慎态度，不能简单类比后就盲目承认和否定， 必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现 例１、例２类似的错误。
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3.学习实变函数与泛函的方法（二）
尽管凭直观想象可能会出现例 1、例2那样 “似是而非，似非而是”的结论，但不能因噎 废食，在每一个定理、引理、推论的证明之前 都应尽量想象其合理的直观意义。直观解释虽 然不能代替严格的论证，却会给我们的证明带 来开阔思路的启迪，直观想象永远是数学各分 支发现联系、揭示规律、猜测命题的重要依据 和行之有效的手段之一。
2.《实变函数与泛函》的特点 （二）
例题少、定理、定义、引理、推论多， 理论性强：
理论性强是由于实变函数与泛函分析的内容 结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积 分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数 与泛函分析的绝大部分篇幅都是在作理论上的准 备，很少有应用、例题的原因。但从另一个角度 讲，实变函数论的习题几乎全是证明题，而定理、 引理、推论的证明本身就是一些典型的，带证明 示范性的例子。 8
1.实变函数的内容（一）
顾名思义： 《实变函数论》即讨论以实数为变量的函数 中学学的函数概念都是以实数为变量的函数 大学的数学分析，常微分方程也是研究的以实数 为变量的函数 《实变函数论》还有哪些内容可学呢？ 简单地说：《实变函数论》只做一件事，那就 是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积，使得 操作更加灵活。
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4.学习实变函数论的方法（四）
既然《实变函数与泛函》是《数学分析》 研究范围、内容的扩展，研究结果的改进和完 善，新旧知识之间就难免存在诸多内在联系， 及时复习相关旧知识以达温故而知新的目的， 注重体会如何借鉴旧方法来解决新问题的思路， 同时特别注意新方法与旧方法实质区别之处， 把握创新点。
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2
Rieman积分的缺陷：
0 D(x) = 1
[ a ,b ]
x为[0,1]中无理数时 不可积 x为[0,1]中有理数时
n
( L)
f ( x) dx lim D(i ) | I i | 不存在
0
i 1
因为i 全取有理数时极限为1
i 全取无理数时极限为0
Rieman积分缺陷产生的根源： 分化呆板、苛刻：必须将定义域分成区间， 无论区间多么小Ｄ(x)的最大值都是１，最小值都 是０。 3 导致Ｄ(x)的大小和之差恒为１，无法任意小。
i 1
4
n
实现新思路的攻关路线：
首要问题：如何规定不规则集合
Ei {x : yi1 f ( x) yi } （第三章：测度论）
遗憾：不能对所有集合规定测度 退而求其次：探索哪些函数满足
的长度？
对任意yi1, yi , Ei {x : yi1 f ( x) yi }皆为可测集
1
(2) Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积


b
a
f ( x)dx lim M i xi lim mi xi f ( x)dx
b ||T || 0 i 1 ||T || 0 i 1 a
n
n
M i sup{ f ( x) : xi 1 x xi } mi inf{f ( x) : xi 1 x xi }
（第四章：可测函数）
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准备充分后就改造积分定义： 方法１：根据初衷规定
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i mEi
0
i 1
n
其中yi1 i yi , Ei {x : yi1 f ( x) yi } max{yi yi1}
方法２：随机应变直接规定
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx mG( f , E), 此处E [a, b]
（第五章：积分理论）
接着讨论积分的性质：
（第六章：微分与积分）
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（第一章，第二章是必备公共基础）
2.《实变函数与泛函》的特点（一）
高度抽象，防不胜防：
抽象到什么程度呢？有人用八个字概括为：“似是 而非，似非而是”。在此举以下两例说明之： 例１：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列， 任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生， 在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能， 但男女生个数至多相差一个。任意两个有理数中有无理 术，任意两个无理数中间有有理数，而任取一个片段， 无理数却比有理数多得多1，即“似是而非” 例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上 稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话， 没人敢承认，而《实变函数与泛函分析》通过严密论证 7 该结论无可非议。这就是所谓“似非而是”。