是矩阵
d1 , d
A 的任意两
2 使得
d1 A A d2 A , ACmn
诱导范数
定 数义 ，： 如设果对X于任是何向矩量阵范A数与，向A量
是矩阵范
X 都有
AX A X
则称矩阵范数 的。
A 与向量范数
X 是相容
例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范 数是相容的.
证明： 因为
2
(
aij )( x j )
i1 j1
j 1
A 2X 2
F
2
于是有
AX A X
2
F
2
例 2 ：设 X 是向量的范数，则
AX
A max
X i
X 0
满足矩阵范数的定义，且 A 是与向量范
X 相容的矩阵范数。
i
证明：首先我们验证此定义满足范数的四
条性质。非负性，齐次性与三角不等式易
证。现在考虑矩阵范数的相容性。
A 2
15 。
练习 ：设
0 1 i
1 0 0
A 1 0 0 或 A 0 1 0
i 0 0
0 0 1
分别计算这两个矩阵的 A ， A ， A
和A 。
1
2
F
例 ：证明：对于任何矩阵 A Cmn 都有
(a) AH AT A
1
1
(b) AH AT A
2
2
2
(c) AH A A 2
2
2
(d) A 2 A A
bkj
A B
因此 A 为矩阵 A 的范数。
例 3 ：对于任意 A Cmn，定义
m n
21
A ( F
aij ) 2
i1 j1
可以证明 A 也是矩阵 A 的范数。我们称此 范数为矩阵 A 的Frobenious范数。
证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。
利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。 现在我们验证乘法的相容性。
解：取 0 1
0 T 。设
X x1 x2
xn T
那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵的谱半径及其性质
定义：设 A Cmn ，A 的 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
(A) max{1 , 2 , , n }
为矩阵 A 的谱半径。
例 ：设 A Cmn ，那么
(A) A
那么我们称 A 是矩阵 A 的范数。
例 1：对于任意 A Cmn ，定义
mn
A aij
i1 j1
可以证明如此定义的 A 的确为矩阵 A 的范
数。
证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的 四条性质即可。非负性，齐次性与三角不 等式容易证明。现在我们验证乘法的相容
性。设 A Cmp , B C pn ，则
必要性：设
lim
k
A(k )
A
[aij ]
那么由定义可知对每一对 i, j 都有
lim
k
a (k) ij
aij
0
(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
从而有
mn
lim
k
a (k) ij
aij
0
i1 j1
上式即为
lim A(k) A 0
k
充分性：设
AX
A
i
X
AX A X
i
这说明 A 与 X 是相容的。
i
定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范
数 X 所诱导的诱导范数或算子范数。由
向量 P--范数 X 所诱导的矩阵范数称为矩
阵P--范数。即 p
AX
A max
p
p
X 0 X
p
常用的矩阵P--范数为 A ， A 和 A 。
1
2
定理：设 A Cmn ，则
d1
b
a
d2
,
b
V
定理：有限维线性空间 V 上的任意两个向
量范数都是等价的。
利用向量范数可以去构造新的范数。
例 ：设 b是 Cm 上的向量范数，且
ACmn , rank( A) n ，则由
A , Cn
a
b
所定义的 a是 Cn 上的向量范数。
例 ： 设 V 数域 F 上的 n 维线性空间，
a (k) 21
1
r k (r
1),
那么
a (k) 22
k2 k2
k k
1 lim A(k) A 3
0
k
1 1
定理： 矩阵序列{A(k )} 收敛于 A 的充分必
要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k) A 为任意一种矩阵范数。
证明：取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
定理：设 A 是矩阵范数，则存在向量范数 X 使得 *
AX A X *
证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范
数 X X H ，容易验证此定义满足向
量范数的三个性质*，且
AX AX H A X H
*
*
*
A X *
例：已知矩阵范数
mn
A A *
aij
i1 j1
求与之相容的一个向量范数。
则有
A1 1 A
例 ：如果 A 1 ，则 I A 均为可逆矩
阵，且
1 (I A)1 1
1 A
1 A
这里 A 是矩阵 A 的算子范数。
矩阵序列与极限
定义：设矩阵序列 {A(k )} ，其中
A(k
{aij
()k)},aij
(k
i
) Cmn
1,2,
，如果 mn 个数列
,m; j 1,2, ,n
1,2, ,n 为其一组基底，那么对于 V 中的任意一个向量 可唯一地表示成
n
xii , X x1, x2, , xn F n
i 1
又设 是 F n上的向量范数，则由
X V
所定义的
V
是 V 上的向量范数。
矩阵范数
定义：对于任何一个矩阵 A Cmn ，用
A 表示按照某一确定法则与矩阵 A 相对
mn p
mn p
AB
aikbkj
aik bkj
i1 j1 k 1
i1 j1 k 1
mn
p
p
[( aik )( bkj )]
i1 j1 k 1
k 1
mp
np
( aik )( bkj )
i1 k 1
j1 k 1
A B
例 2 ：设矩阵 A Cnn ，证明：
A
n max i, j
aij
是矩阵范数。
m
（1）
A 1
max( j i1
aij
),
j 1, 2,
,n
我们称此范数为矩阵A 的列和范数。
（2）
A
2
max( j
j
(
AH
A))
1 2
,
j ( AH A)
表示矩阵AH A 的第 j 个特征值。我们称此范 数为矩阵 A 的谱范数。
n
（3）
A
max( i
j 1
aij
),
i 1, 2,
,m
我们称此范数为矩阵 A的行和范数。
第五章 向量与矩阵的范数
定义： 设V 是实数域 R（或复数域 C ）上 的 n 维线性空间，对于V 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个
实数称为 的范数，记为 ，并且要求
范数满足下列运算条件：
（1）非负性：当 0, 0 只 有且仅有当 0, 0
（2） 齐次性： k k , k 为任
命题： n 阶复矩阵 A 的谱半径不大于其任何
一种范数。
AX X , X 0 X X AX A X A
例 已知
2 1 0 A 0 2 3
1 2 0
计算 A ，A ，A 和 A 。
1
2
F
解： A 5 1
A 23 F
A 5
因为
5 0 0
AH A 0 9 6
0 6 9
所以
2
1
(c)
AH
A
2 2
max j
j
[(
AH
A)H ( AH
A)]
max j
j
[(
AH
A)2
]
[max j
j
(
AH
A)]2
A4 2
AH A A 2
2
2
(d )
A
2 2
max j
j
(
AH
A)
根据前面的命题可知
A
2 2
max j
j
( AH
A)
AH A 1
AH A A A
11
1
如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？
引理（Minkowski不等式）：设
a1,a2, ,an T , b1,b2, ,bn T Cn
则
n
(
ai bi p ) 1 p ( n
ai p ) 1 p ( n
bi p ) 1 p
i 1
i 1
i 1
其中实数 p 1 。
几种常用的范数
定义：设向量 a1, a2, , an T ，对任
于是有
n
x(
p
yi p ) 1 p
i 1
另一方面 n
1 yi p n
i 1
n
1
1