假定目標在全局參考坐標系 的原點，差動驅動的機器 人的運動學模型
令 為機器人前進方向和機器人輪軸中心與目標點連線之間的角度，當前 位置在全局參考坐標系下的極座標為：
• 控制率設置 設計控制信號v和w， 閉環控制系統可表示為：
該閉環系統有一個唯一的平衡點 器人到達目標點。
YR

XR
XI
在局部參考坐標系下，沿XR的運動等於- ，沿YR的運動是 ， 也就是說，機器人在局部參考坐標系下沿x軸的運動，相 當於在全局參考坐標系下沿y軸反方向的運動
• 運動學模型
假定差動機器人有2個動力輪，半徑均為r，給定點為兩輪之間的中點M， 輪距為d。給定r,d,θ和各輪的轉速 ， 點M在XR正方向上的平移速度為：
• 活動性程度
• 可操縱度 對於 一個安裝有零個或多個可操縱標準輪的機器人有： 為零時，說明機器人底盤沒有 安裝可操縱標準輪；等於2時， 說明機器人沒有安裝固定標 准輪。
• 機動性 指機器人可以操縱的總的自由度，由直接操縱的自由度（ 即活動性程度）和間接操縱的自由度（即可操縱度）兩個 部分構成。
• 移動機器人的運動控制 開環策略和閉環策略 點鎮定、路徑跟蹤、軌跡跟蹤
• 點鎮定舉例
• 在機器人局部參考坐標系下，給定實際位姿誤差向量為 x，y和θ是機器人的目標座標。如果存在一個控制矩陣K， ，
使得v（t）和w（t）的控制，
滿足
機器人在目標點是穩定的，即控制矩陣K可以使機器人到達該目標點。
• 運動學模型的建立
• 底盤的滑動約束
所用標準輪的滑動約束集合成一個單獨運算式：
也表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考坐標系下的 運動投影到各個輪子的法平面內
• 例4
對兩輪差動驅動機器人，求滾動約束和滑動約束的聯合運算式。 解：聯立約束方程，得
小腳輪無動力，可在任何方向自由運動， 和 分別簡化 為 和 。 對右輪，α＝－π/2，β＝π；對左輪，α＝π/2，β＝0 可得總的約束方程：
左乘得，
進一步的運算可得：
• 3.4移動機器人的機動性
• 活動性程度 暫態轉動中心（即ICR） 四輪汽車和自行車的ICR 只有一個單獨的ICR，才保證 機器人的運動是確定的 獨立的滑動約束的數目可用 的秩來描述。一般地，對於一個安裝有零個或多個標 準輪的機器人： 等於零時，表示機器人未安裝標準輪；等於3時，表示機器 人在任何方向是完全受約束的，即它將不可能在平面中運 動。
該映射可由正交旋轉矩陣來表示
• 例1 如圖3-2所示機器人，給定全局參考坐標系下的某個速度 ， 且 ，試計算沿機器人局部參考坐標系XR軸和YR軸的運動分 量。 YI 解：
R
.
0 R( 2) I 1 0
.
x y 1 0 0 0 y x 0 1
3.2 運動學模型的建立
1、機器人的位置表示 YI • 全局座標和局部座標的關係 YR XIOYI為全局參考坐標系， XRMYR為機器人的局部參 考坐標系，局部參考坐標系 的原點為機器人底盤上後輪 軸的中點M。 θ表示全局參 O 考坐標系和局部參考坐標系的角度差 機器人的位姿
XR

M XI
• 局部座標與全局座標的映射關係
解：根據滑動約束方程， 得：
即，yI=0
• 2）可操縱的標準輪 有一個附加的自由度， 輪子相對機器人底盤的 方向不再是一個固定值 β，而是隨時間變化的 函數β(t)。
約束方程與固定標準輪的約束方程是相同的，只把β換成β(t) ，並不直接影響機器人的暫態運動。但操縱角的變化會影 響到機器人的活動性。
假定輪子不能有側向滑移，則
旋轉角速度分量：

最終得到運動學模型如右式。
3.3 運動學約束
•輪子的運動學約束 假定： 1、 輪子的平面總是和地面保持垂直，輪子和地面之間只有一個 單獨的接觸點，並且該接觸點的瞬時速度為零。 2 、該接觸點無滑動，只存在純滾動。 1）固定標準輪 輪子的中心點A在機器人局部參考 坐標系下的位置可用極座標表示 為長度MA=l 和角度α，輪子平面 相對於MA的方向用固定角β表示。 半徑為r的輪子在輪子平面內可自 由轉動，轉動的角度用 ϕ(t)表示
第三章 移動機器人運動學
• • • • 移動機器人運動學模型 移動機器人運動學約束 移動機器人的機動性 運動控制
1
3.1 運動學概述
• 機械系統的運行規律 • 對工業機械手的研究很成熟 • 移動機器人的運動與機械手不同 • 由輪子的運動描述，進而得到機 器人整體的運動描述。討論機器人 的運動控制。
• 機器人運動學約束
把機器人底盤上所有輪子引起的運動學約束以適當的形式聯合起來，就 可以描述整個機器人的運動學約束。 設Nf個固定標準輪和Ns個可操縱標準輪， 底盤的滾動約束：
將所有輪子的滾動約束集合成一個單獨的運算式：
表示一個投影矩陣，該投影矩陣將機器人在局部參考坐標系下的 運動投影到沿著它們各個輪子平面的運動。 J2是一個大小為N×N的常對角矩陣，其對角線 上的元素為全部標準輪的半徑。
• 3.5 運動控制
• 非完整約束和非完整系統 完整約束是指系統的約束可以用相對於質點的直角坐標（(Xi ,Yi ,Ti)，i =1…n）及時間t的解析方程，或有限方程（非微 分方程）來表示。又稱為幾何約束。 若約束採用不可積分的微分方程表示，則稱為非完整約束。 當系統受非完整約束時，無法約束系統 的運動位形，而只是將系統的瞬時速度 限制在（n-k）維子空間上，也就是說非 完整約束使系統的運動自由度減少，但 是描述系統的獨立廣義座標的自由度並 沒有減少。
矩陣表示形式如下：
矩陣表示形式如下：
• 映射到全局坐標系 固定標準輪的滾動約束方程：
機器人沿著輪子平面的運動等價於機器人在全局參考坐標系 下的運動在輪子平面內的投影。必須等於由旋轉輪子完成 的運動 。
滑動約束方程：
正交於輪子平面的輪子運動分量為零
• 例3.
假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，試寫出 該輪的滑動約束方程。