正态分布教案学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级2008级执教者王黎玲学号指导老师袁智强老师教?材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节一、教学目标二、教学重点与难点三、教学的方法与手段四、教学过程【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。

教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师想问同学们有谁认识高尔顿呢？学生预案：高尔顿？教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。

那么同学们认识达尔文吗？学生预案：知道。

教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的着作，提出了生物进化论学说，被恩格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。

而高尔顿是英国着名的人类学家、生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是着名生物学家达尔文的表弟，正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实验。

教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。

教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。

为了更好的研究实验结果呈现的现象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。

现在我们开始做实验。

?老师演示：打开实验flash ，进行演示。

最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频率直方图同时显示，让学生更好的观察。

300次 600次1500次 3000次我们发现随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状越来越像是一条曲线，它的形状像我们寺庙里面的钟，我们也把它叫钟型曲线。

这条曲线就是我们今天要研究的正态分布密度曲线，简称正态曲线。

它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示： 这个函数是：式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．有些同学有疑问了，这个函数解析式是怎么来的呢？这个问题以同学现在的知识还无法推导出来，等同学到了大学进一步学习概率论等统计数学时，就可以通过大数定律正确的推导出来，但是现在我们不做要求，有兴趣的同学可以回去查阅书籍，现在同学们只要牢牢记住这个函数式就行了。

【环节二：动手练习，巩固概念】及时用习题巩固概念，有利于学生对正态函数的掌握。

教师活动：现在我们一起来做下这道题。

1.下列函数是正态函数的是( ).【环节二：复习引入，巧设疑云，轻松渗透】温故而知新教师活动：在之前的学习中我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布。

在总体分布研究中，正态分布在是最基本、最重要的一种分布，正态密度曲线也是一种总体密度曲线。

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间()b a ,内取值的概率等于总体密度曲线与直线b x a x ==,和x 轴所围图形的面积．教师活动：那好，现在我们再来观察正态密度曲线，X 是一个随机变量.X 落在区间(a,b]的概率为:就是由正态曲线，直线b x a x ==,和x 轴所围图形的面积．就是X 落在区间(]b a ,的概率的近似值。

教师活动：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足则称X 分布为正态分布，正态分布完全由μ和σ确定，因此正态分布常记作()2,σμN ，如果X 服从正态分布，则记为()2,~σμN X 【环节三：形成概念，升华认知，研究性质】教师活动： 我们要研究一个函数图像的性质特点的话，一般会从哪些方面进行研究分析呢？ 学生预案：定义域、单调性、对称性、奇偶性，其他性质。

教师活动：那好现在我们一起结合)(,x νμϕ的解析式、正态分布曲线及概率的的性质特点，来研究正态分布的性质。

教师活动：1、正态曲线的定义域、值域分别是什么呢？学生预案：定义域是()∞+∞-∈.x ，值域是0>y教师活动：值域中函数值会等于0 吗？学生预案：不会。

教师活动：那么反应在图像中，就是图像在x 轴的上方，并且与x 轴没有交点。

那么还有什么特征呢？2、通过观察函数图象及其函数解析式()()∞+∞-∈=--.,21)(222,x e x x σμνμσπϕ 函数在哪里取得最大值呢？最大值是多少呢？学生预案：在μ=x 处取得最大值，最大值是σπϕνμ21)(,=x教师活动：很好，在μ=x 处我们可以取得最大值，最大值是σπϕνμ21)(,=x ，那么当μ<x 和μ>x 是函数图象又有什么特点呢？学生预案：μ<x 时，函数图象单调递增，μ>x 时，函数图象单调递减。

教师活动：3、当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。

并且曲线它是单峰的，只有一个最大值，从函数解析式可以知道，图象关于μ=x 对称。

教师活动：那么同学们能不能从概率的角度研究下正态密度曲线有什么性质呢？回顾一下我们之前学习概率时，学习它的哪些性质呢？所有事件发生的概率之和为多少呢？学生预案：1.教师活动：那么我们学习过密度曲线，曲线与定义域内某个区间围城的面积大小反应是发生概率大小是吧，那么整条曲线与整条x 轴围成的面积是不是就是所有可能发生情况的概率之和，也就是1呢，因此我们可以得到曲线与x 轴围成的面积是1.教师活动：正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布，那么μ和σ是怎样对正态曲线产生影响的呢？请同学继续观察老师的实验演示。

（1）固定σ的值，改变μ的值，观察图像有什么变化啊？先学生预案：当σ相同时,正态分布曲线随着μ的变化而左右平移。

教师活动：当σ相同时,正态分布曲线随着μ的变化沿着x 轴左右平移。

教师活动：（2）固定μ的值，通过改变σ的值，观察图像有什么变化啊？学生预案：σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”。

教师活动：μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。

这样到我们又得到了正态分布哪些性质呢？学生预案：1、σ一定时,正态分布曲线随着μ的变化沿着x 轴左右平移。

2、μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。

教师活动：那么到目前为止我们发现了正态曲线几条特点呢？1、曲线位于x 轴的上方，它与x 轴没有交点.2、图象是单峰的，在μ=x 处取得最大值，最大值是σπϕνμ21)(,=x3、关于μ=x 对称，当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数），并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。

并且曲线它是单峰的，只有一个最大值，没有最小值。

4、曲线与x 轴围成的面积是1.5、σ一定时,正态分布曲线随着μ的变化沿着x 轴左右平移。

6、μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。

教师活动：非常好，同学要牢牢记住这些性质，并要会应用它们。

【环节四：应用思想，导出3-σ】数学思想应用，导出新知教师活动：刚刚我们学习了已知密度曲线求概率的方法。

那么如果()2,~σμN X ，对于任何实数a>0,X 落在区间()a a +μμ,-的概率多少呢？学生预案：()⎰+-=+≤<-a a dx x a X a P μμνμϕμμ)(,教师活动：很好，那现在请同学分别求正态总体N （μ，2σ）在（μ－σ，μ＋σ）；（μ－2σ，μ＋2σ）；（μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率。

学生预案：()⎰+-=+≤<-σμσμνμϕσμσμdx x X P )(, 教师活动：那么它们得到的值是多少呢？学生预案：σμ，不知道，求不出来.教师活动：正态总体在这些特殊区间内的概率分别为：从上表看到,正态总体在()σμσμ22+≤<-X 以外取值的概率只有0.0456,在()σμσμ33+≤<-X 以外取值的概率只有0.0026，由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件。

也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的。

在实际应用中，通常认为服从正态分布N （μ，2σ）的随机变量只取()σμσμ33+≤<-X 之间的值，并简称为σ3原则。

【环节五：讲解范例，掌握新知】1、已知X~N (0,1)，则X 在区间()2-，∞内取值的概率等于（ ） 2、设离散型随机变量X~N(0,1),则()0<x P = ,()22<<-x P = .3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).【环节六：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识?教师活动：1、高尔顿及高尔顿钉板实验2、正态分布3、正态分布曲线及其性质4、3σ原则5、正态分布的应用五、板书设计2．4 正态分布 一、正态分布()()∞+∞-∈=--.,21)(222,x e x x σμνμσπϕ式中的实数μ、)0(>σσ是参数，ξσξμD E ==,二、x 落在区间(]b a ,的概率为,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰ 三、1、曲线位于x 轴的上方，它与x 轴没有交点。

2、在μ=x 处取得最大值，最大值是σπϕνμ21)(,=x3、图象关于μ=x 对称，当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数），并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。

并且曲线它是单峰的，只有一个最大值，没有最小值。

4、曲线与x 轴围成的面积是1.5、当σ相同时,正态分布曲线随着μ的变化沿着x 轴左右平移。

6、μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。