江苏省扬州中学2018—2019学年第二学期期中卷 高 一 数 学 2019.4一、选择题（每小题5分，合计50分）1．若直线过点(3,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为（ ★ ） A ．y ＝33x －4 B. y ＝33x ＋4 C . y ＝3x －6 D. y ＝33x ＋2 2. 不等式201xx -<+的解集为（ ★ ） A. {}12>-<x x x 或 B. {}12<<-x x C. {}21>-<x x x 或 D. {}21<<-x x 3．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11)在同一直线上，那么k 的值是（ ★ ） A. －6 B. －7 C. －8 D . －9 4．下列四个命题中错误的是( ★ )A ．若直线a ，b 互相平行，则直线a ，b 确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面5. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ★ ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定6．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ；②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β m ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ★ ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④7. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ★ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的 余弦值是( ★ )A. 13B.1010C. 105D.223 9．已知b>a >0且a ＋b=1，则有 （ ★ ） A ． a ab b a b >>>+>21222B ． a ab b a b >>>+>22122 C ． ab a b b a 22122>>>>+ D ． a 2＋b 2＞b ＞a ＞12＞2a b10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且BC AB ⊥，21===AA BC AB ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ★ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 二、填空题（每小题5分，合计30分）. 11．不等式2680x x -+->的解集为___▲____.12．若圆锥的母线长是5，高是 4，则该圆锥的体积是__▲____.13．过点)1,2(-P ，在x 轴上和y 轴上的截距分别是b a ,且满足b a 3=的直线方程为___▲____.14. 若钝角三角形ABC 三边长分别是,1,2()a a a a N ++∈，则三角形ABC 的周长为__▲___.15．已知直线l :320mx y m -++=()m R ∈,则l 恒过定点___▲____.16. 在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22sin sin A B +的最小值为_ ▲ _. 三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．(5分+5分)在直三棱柱111C B A ABC -中, AB BC ⊥, D 为棱1CC 上任一点. (1)求证：直线11A B ∥平面ABD ； (2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .18. (4分+8分)在锐角ABC △中，已知sin A =(1) 求cos()B C +的值； (2) 若2a =，ABC S =△b 的值.19. (6分+6分)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD=DB ，点C 为圆O 上一点，且BC=AC ．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=DB ．（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．20．(4分+8分)直线l 过点)1,2(-P 且斜率为k k (＞)1，将直线l 绕P 点按逆时针方向旋转45°得直线m ，若直线l 和m 分别与y 轴交于Q ，R 两点．（1）用k 表示直线m 的斜率；（2）当k 为何值时，PQR ∆的面积最小？并求出面积最小时直线l 的方程．21．(4分+8分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC .记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π2）．（1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.22. (6分+6分)已知函数21()21x x f x -=+,（1）若存在0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22(sin sin )(2sin )f f k θθθ-<-有解，求实数k 的 取值范围；（2）若函数()g x 满足[]()()222x xf xg x -⋅+=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值．高一数学期中试卷答(第21题图)案2019.4一选择题:A C D CBCD A B C二、填空题:11. 12. 13. 或； 14. 915. 16.三、解答题:17. (1)证明:由直三棱柱,得………………………………2分………………………5分(2)因为三棱柱为直三棱柱,所以,又,而,,且,所以……………8分又,所以平面⊥平面…………………………………10分18. 解：（1）因为锐角△ABC中，，所以又A＋B＋C＝p，所以. ……….4分（2），，即，……….6分将，，代入余弦定理：得：，……….11分即. ………..12分19. 解析：（1）连接OC，由AD=BD知，点D为AO的中点，又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∵AC=BC，∴∠CAB=60°，∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．……….2分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，PD∩AO=D，∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD．……….6分（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，∴CE⊥PB，∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角．……….9分设AB=4,则由（1）可知CD=，PD=BD=3，∴PB=3，则DE==，∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，∴cos∠DEC=，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．……….12分20. 解：(1)设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，………4分(2)直线的方程为，直线的方程为令，得，∴……….6分∵，∴ ≥ ………9分 由得舍去，∴当时，的面积最小，最小值为，此时直线的方程是．………12分21. 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为3π，所以∠CBA ＝6π，AB ＝4，BC ＝2．因为BC 为直径，所以∠BDC ＝2π，所以BD ＝BC cos θ＝2cos θ． ……….4分 （2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋6π，∠BFD ＝3π，BD ＝2cos θ，所以6π6π＝2π－θπ＝sin ∠BFD BD，所以DF ＝4cos θsin(6π＋θ)，且BF ＝4cos θ，所以DE ＝AF =4－4cos θ，……….6分所以DE ＋DF ＝4－4cos θ＋4cos θsin(6π＋θ)=sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－6π)＋3． ………8分因为3π≤θ＜2π，所以2π≤2θ－6π＜65π，所以当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．………11分 答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大……….12分 22. 解：（1）．对任意，有：．因为，所以，所以，因此在R上递增．………………………………………2分令,则且，所以，即在时有解．当时，，所以．…………………………6分(2)因为，所以()，………7分所以．不等式恒成立，即，，………………10分因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立．所以，则实数m的最大值为．…………………………12分。