实验三十七 用动态悬挂法测定杨氏模量
杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
“静态拉伸法”由于 受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。
本实验用“动态悬 挂法”测出
试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。
目的
(1) 悬挂法测定金属材料的杨氏模量。
(2) 培养学生综合应用物理仪器的能力。
(3) 设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神
二实验
棒的振动方程为(如图
1):
4 2 y ps y 0 4 2 0
x 4 EJ t 2 这两个线形常微分方程得通解分 别为
称为频率公式。
对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。
我们只要用特定的边界条件定出常 数K ,并将其代入特定截面的转动惯量
J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。
如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力： 将通解代入边界条件，得到 COS KI chKl 1
用数值解法求得本征值 K 和棒长l 应满足 Kl =0, 4.730 , 7.853 , 10.966…。
由于其中一个根“ 0”对应于静态情况，故将第二个根作为第一个根，记作
K 1l 。
一般将K 1l 所对应的 频率称为基频频率。
在上述 K m l 值中，1, 3, 5…个数值对应着“对称形振动” ，第2、4、6…个数值对应 着“反对解以上方程的具体过程如下(不要求掌握)。
用分离变量法：令
y(x,t) X(x)T(t) )得
代入方程(7-1 1 d 4X X dx 4 等式两边分别是 S 1 d 2T
2~ EJ T dt 2 x 和t 的函数，这 该 只有都等于一个常数才有可能， 常数设为K 4 ,
dx 4
立
dt 2
得: K 4X 0
测试棒
B 3 COS Kx B 4 sin Kx
X(x) BchKx B 2shKx T (t) A COS ( t )
于是解振动方程式得通解为 y(x,t) (B 1ChKx B 2ShKx B 3 COS Kx B 4 sin Kx)Acos( t )
1
K 4EJ 2 S
其中 (2
F M 3 y
x x 2
弯距
M
EJ y 0 x
即 d 3X 0,
d 3X 0 , dx 3 dx 3
x 0 x l dx 2 x 0 dx2 x l
I.'［换能器 n
称形振动”。
可见试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为0.2241和0.776
处。
将第一本征值 K 4730代入（2）式，得到自由振动的固有频率（基频） l
1
4
4.730 EJ 2 4 解出杨氏模量
E 1.9978 .4 .3
3 l S 2 2 l m 2 10 7.8870 10 f
J J 对圆棒： J 2 y ds d 2 S()
4
I o
式中d 为圆棒的直径。
得到 E 1.6067马 f 2
d 4
上式即为（1）式的解。
式中l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。
如果在实验中测定了试样（棒） 在不同温度时的固有频率 f ,即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量 E 。
在国际单位制中杨氏模量的单
-2
位为（N ・m ）。
本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。
为了测出该频率，实验时可采用如图 7-1所 示装置。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器 I （激振）上。
通过传感器 I 把电信号转变成机械 振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。
试样另一端的悬线把试样的振动传给传感 器II （拾振），这时机械振动又转变成电信号。
该信号经放大后送到示波器中显示。
当信号发生器的频率 不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。
当信号发生器的频 率等于试样的共振频率时，试样发生共振。
这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该 温度下的共振频率。
根据（7-1 ）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。
三实验仪器
杨氏模量实验仪（包括试样、杨氏模量测试台、型信号发生器（图 2））, ST16示波器（图3）。
图2 YM-2信号发生器 四实验内容
（1 ）测定试样的长度l 、直径d 和质量m ，每个物理量各测 5次。
（2 ）在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量分别为2 X 10 11 （ N • m 2 ）和1.2 X 1010 （ N • m -2）, 先由
（1 ）式估算出共振频率f ,以便寻找共振点。
（3）把试样棒用细钢丝挂在测试台上，悬挂点的位置约距离端面0.224和0.776l 处。
（4 ）把信号发生器的输出与测试台的输入相连，测试台的输出与放大器的输入相接，放大器的 输出与示波器的 Y 输入相接。
（5）把示波器触发信号选择开关置于“内置”
（①②都置于左边），y 轴增益④置于最小档（左边第二
档），y 轴极性置于“ AC 。
（6） 因试样共振状态的建立需要有一个过程， 且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时， 必须频率显示 Hz
输岀接口
频率调节 o ol 0 0
⑤ ④
图3 ST16示波器
十分缓慢地进行，直至示波器的示波屏上出现最大的信号。
（7）记下室温下的共振频率f，求出材料的杨氏模量 E。
（8）本实验用铜棒和钢棒各做一次。
［杨氏模量实验仪的使用］
（1）使用前先将约1kz、1V的音频信号直接输入耳机检查，应该能听到轻微的声音。
（2）杨氏模量实验仪的电压表指示输出的电压幅值，其值由幅度调节旋钮调节。
信号由输出1、输出2两路并联输出，可用专用导线和传感器、示波器等相连接。
（3）频率调节分为频率粗调和频率细调，在实验室中两者必须配合使用，频率的值由五位数码显示管显示。
五数据与结果
（1）估算金属棒的长度I、直径d、和质量m的测量值及其不确定度。
I I （mm）； d d（mm）； m m（g）
（2）由（7-1 ）式分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量 E E（Nm 2）（设信号发生器的频率不确定度为
0.1Hz ）。
其中
六思考题
（1）试讨论：试样的长度I、直径d、质量m共振频率f分别应该采用什么规格的仪器测量？为什么？
（2）估算本实验的测量误差。
提示：可从以下几个方面考虑：（1）仪器误差限；（2）悬挂点偏离节点引起的误差。