高等数学A （2）复习题一、多元函数微分学1．求极限 （1）x xyy x sin lim)2,0(),(→；（2）xyxy y x 11lim)0,0(),(-+→；（3）2222)0,0(),(cos 1)(limyx y x y x +-+→；（4）y x y x xye xy +→+)1ln(lim)0,1(),(；（5）2222)0,0(),(1sin)(lim yx y x y x ++→。

2．求全微分、偏导数（1）)1sin(2y e z x +=，求dz ；（2）设函数f 具有一阶连续偏导数，),2cos (xe xf y =，求dxdy ； （3）设)sin ,2(x y y x f z -= ，其中f 具有连续的偏导数，求：yz x z ∂∂∂∂,。

（4）设),(y x z z =是由方程 32=-z xy e z 确定的隐函数，求yz x z ∂∂∂∂,。

3．求切线方程、切平面方程、法线及法平面方程（1）求曲线1,cos ,sin -==+=te z t y t t x 在点（0，1，0）处的切线方程和法平面方程。

（2）求曲面 72=+-xy z e z在点（2，3，0）处的切平面方程和法线。

（3）在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出该法线方程。

4．求方向导数与梯度（1）函数xy y x z -+=22在点)1,1(处沿什么方向的方向导数最大？最大方向导数的值是多少？（2）求函数 )ln(2z yz xe u y ++= 在点A （1，0，1）处方向导数的最大值和方向导数取最大值的方向，并求在点A （1，0，1）处沿点A 指向点B )2,2,3(-方向的方向导数。

5．求函数极值、应用拉格朗日乘数法求实际最值问题 （1）求函数 2233331y x y x z --++= 的极值。

（2）求函数z xy =在条件1x y +=下的极大值。

（应用拉格朗日乘数法）（3）在曲面z =231x y z -+=的距离最近。

（应用拉格朗日乘数法）（4）设销售收入R （单位：万元）与花费在两种广告宣传上的费用,x y （单位：万元）之间的关系为：200100510x yR x y=+++，利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用，已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用可使利润最大。

（应用拉格朗日乘数法）二、重积分与应用1．二重积分计算与应用（1）设D 由21x y -=和0=y 所围成，求⎰⎰+Dd y x σ22。

（2）设D 由x y =与2x y =所围成，求dxdy x D⎰⎰。

（3）交换积分次序⎰⎰10sin x xdy yydx 。

（4）计算⎰⎰--11222dy x y dx 。

（5）设平面薄片所占的闭区域D 为 4122≤+≤y x ，它的面密度y x y x ++=1),(ρ，求该平面薄片的质量。

（6）设均匀薄片由0,1422≥≤+y y x 确定，求薄片的质心（1=μ）。

（7）设),(y x f 连续，且22(,)(,)Df x y x y f x y dxdy =++⎰⎰，其中D 是圆形区域224x y +≤，求(,)f x y 。

2．三重积分计算与应用（1）设Ω是由三个坐标平面与平面1=++z y x 所围成，求积分 ⎰⎰⎰Ωdv x2。

（2）计算⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22，其中Ω是由221y x z +-=与平面0=z 所围成的区域。

（3）计算重积分(z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由圆柱面221x y +=和平面0,1z z ==所围成的闭区域。

（4）求由球面z =和圆锥面z =所围成的立体的体积。

（5）设Ω为曲面22y x z +=与22y x z +=围成的封闭区域，它的密度函数为z z y x =),,(μ，求Ω关于z 轴的转动惯量。

三、曲线、曲面积分1．求第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）设L 为上半圆周24x y -=，求ds eLy x ⎰+22。

（2）设L 是连接点（0，0）与点（1，2）的直线段，求⎰+Lds y x )(。

（3）计算曲线积分()x y z ds Γ++⎰，其中Γ是连接点(1,1,1)A 与点B （2，3，4）的直线段。

2．求第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）设曲线L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)一段弧，求曲线积分⎰-Ldx y x )(22。

（2）设Γ是从（1，1，1）到（2，3，4）的直线段，求 zdz ydy xdx ++⎰Γ。

3．应用格林公式 （1）计算dy y x x dx y x L)()1(3332+-+++⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取正向。

（2）计算曲线积分dy y x y x dx x y x L)2sin 2()cos 31(22--+-+⎰，其中L 是沿上半圆周)0(22>-=a x a y 从点)0,(a A 到点)0,(a B -的一段弧。

4．求第一类曲面积分（对面积的曲面积分）（1）求曲面22y x z +=被曲面222y x z +-=所截下的那部分曲面的面积。

（2）设∑为曲面)10(22≤≤+=z y x z ，求⎰⎰∑++dS z y x )(。

5．求第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） （1）计算曲面积分⎰⎰∑dxdy z 3，其中∑为抛物面 22y x z +=介于平面1,0==z z 之间的部分，取上侧。

（2）计算曲面积分dxdy e y x dzdx z dydz y z)(22++++⎰⎰∑，其中∑是由曲面22y x z += 与平面1=z 所围成立体的表面，取外侧。

四、无穷级数1．判断下列级数的敛散性（1）11(1)3nn n n +∞-=-∑。

（2）∑∞+=++-132321)1(n nn n 。

（3）∑+∞=12sin n n n α。

（4）∑∞+=+1224cos n n n n π。

（5）41!n n n ∞=∑。

2．若幂级数∑∞=-0)1(n nn x a在2-=x 处收敛，判断幂级数∑∞=0n nnx a 在2=x 处的收敛性。

3．将函数 12)(+=x e x f 在 1=x 处展开为幂级数，并求收敛域。

4． 将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数，并求其收敛域。

5．将函数231)(2++=x x x f 展开为 1-x 的幂级数，并求收敛域。

6．将函数 )23ln()(2++=x x x f 展开为 2-x 的幂级数，并求收敛域。

7．求幂级数∑∞=++01)1(4n n n n x 的收敛域，并求和函数。

8．求幂级数∑∞=--113)1(n nn nnx 的收敛域，并求和函数 9．将函数 ⎩⎨⎧≤≤<≤=πx x x x f 2,20,1)( 展开为余弦级数∑∞=+10cos 2n n nx a a ，讨论此余弦级数的收敛于)(x f 情况，并求出余弦级数的和函数。

（不必求出余弦级数的具体形式）10．将函数⎩⎨⎧≤≤<≤--=ππx xx xx f 00)( 展开为傅里叶级数，求系数1a 。

五、微分方程1．求下列微分方程的通解（1）23xy xy dx dy+=； （2）xy y dxdyx 2=+；（0>x ） （3）x y 2cos ='''； （4）y x y x '=''+2)1(2。

2．求微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧==+'1)(cos πy x x x y y 。

3．二阶线性常系数齐次微分方程的通解为 )2sin 2cos (21x c x c e y x +=，求此微分方程。

4．求微分方程 052)4(=''+'''-y y y 的通解。

5．求微分方程 x e y y y -=+'+''2 的通解。

6．求微分方程 x x y y y sin cos 323+=+'+'' 的通解。

7．已知连续可微函数)(x f 满足1)0(=f ，且使曲线积分dy x f y dx x yf ye x L)]([)](31[2++-+⎰与路径无关，求)(x f 。

8．设函数)(x f 连续，且满足⎰⎰-+=xxx dt t f x dt t tf e x f 0)()()(，求)(x f 。

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