c(x,)
1
2
exp ( [
kdx)]
cm 4Dx 4DxV
（5-6-13）
（2）时间连续点源问题，根据式(5-4-2)和式(5-6-5)，有解
c(x,)
1
{
{e
xp([ 2n0)2]
cm
4Dxn
4Dx
e xp[(2n0)2]}e xp(kdx)} （5-6-14）
4Dx
V
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
V ]
4Myx
er[f(y2nWy02)
V ]}e xp(kdx)}
4Myx
V
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
令
V
E1(n)e
r(fy2nW y0)2
4M yx
V
E2(n)er(fy2nW y0)2
4M yx
则
c(x,y)c 2 0 n E 1(n )E 2(n ) ex k p V dx)(
再将式（5-6-5）对y求两次偏导数，有
（5-6-6）
2c 2c1 y2 y2 exp(Bx)
（5-6-7）
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
无降解情形
2c y2
2c1 y2
exp(Bx)
c1 x
A
2c1 y 2
2c c1 Ay2 x exp(Bx)
（5-6-8）
x c c x 1exB p)( xB1e cxB p)(x
吸水点
W=150m
x=16.1km
y=30m
x=24.1km
游泳场 图 污染源排放示意图
解：计算公式为：
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
c(x,
y)
c0 2
{ {erf[(y2nW
n
y01)
V ]
4Myx
erf[(y2nW y02)
V ]er 4Myx
f[(y2nW
y01)
V ]
4Myx
erf[(y2nW y02)
V] 4M yx
V
erf [( y 2nW y01 )
] 4M yx
erf [( y 2nW y02 )
V ]} exp( kd x )}
4M yx
v
（5-6-12）
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
2、不规则河道非均匀流横向扩散因素为常数的污染带
（1）时间连续点源问题(未受岸壁反射时)，根据式(5-4-1) 和式(5-6-5)，有解
V
]}e
xp( kd
x )}
4Myx
v
其中 y010, y0230m
V Q 21.25 0.47m 2/s hW 3150
c0
cdQd
Q(y02y0
1060.43
个 10118
1)/W 21.2530/150
10m 0
L
因y01=0，公式简化为
c(x, y)c20{n {er[f(y2nWy02)
2a) 和式（5-6-5），有解
c(x,y)4m M zyVexxp 4V M (y 2x y)exp k V dx ()
（5-6-10）
（2）时间连续点源问题(受岸壁反射时) ，根据式(5-2-4b)
和式(5-6-5)，有解
c(x,y)
m z
{
{expV[(y2nWy0)2]
4MyVxn
4Myx
根据上式计算游泳场和吸水点的大肠杆菌浓度，计算 过程和结果见表。
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
表 污染带浓度计算
受污染 地点
C0
(100个/ml)
y02
(m)
x
(m)
y
V/4Myx exp( kd x )
n
(m)
(m-1)
V
游泳场 10118 吸水点 10118
0 30 24100 0 0.0111 0.00271 +1
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
紊流扩散的理论常应用于非保守的污染物的排放，例 如在排放的污水中有各种有机物质和重金属是非保守的， 电站排放的冷却水中的热量也是非保守的，因为它们在河 水中扩散时，由于化学和生物化学的反应以及物理作用等 原因，使它们发生化学和物理的降解或增生。
如果河流很长和比较宽或横向混合系数比较小，则污 染带的长度会很长，此时，有足够的时间使污染的物质发 生显著的降解，因此不能忽略污染物质的非保守性。
Ay2c2 xcB1cexpB ( )t
（5-6-9）
cc1expB()x
c 2c x Ay2 Bc
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
可以证明: cc1e xpB()x对在前几节中所介绍的污染带都是成立的，于是
可以得到一阶降解污染带的各种解析解：
1、矩形河道均匀流的污染带
（1） 时间连续点源问题(未受岸壁反射时)，根据式(5-2-
-1 0 30 16100 150 0.0136 0.0192 +1 -1
V
E1(n)er[f(y2nW y0)2
] 4M yx
V
E2(n)er[f(y2nW y0)2
] 4M yx
E1
E2
C
(个/100ml)
-0.359 0.359
-1
-1
9.85
1
1
-0.979 1
-1 -0.979 4.01
exp[V((y2nWy0)2)]e}xp(kdx)}
4Myx
V
（5-6-11）
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
(3) 时间连续线源问题，根据式(5-2-13b)和式(5-6-5)，有解
c( x, y)
c0 {
{erf [( y 2nW
2 n
y01 )
V ]
4M yx
erf [( y 2nW y02 )
（3）时间连续线源问题，根据式(5-4-3)和式(5-6-5)，有解
c(x,) 1{
[erf(
2n
01
)
erf(
2n
02
)]
cm
2 n
4Dx
4Dx
erf
(
2n
01)
e
xp(
2n
02
)}
4Dx
4Dx
e xp( kd x) V
（5-6-15）
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
例：有一近似矩形均匀流的河段，河宽为150m，水深为3m， 流量为212.5m3/s。有一污水扩散器长30m，自岸边开始横 置于水平。污水流量为0.43m3/s，污水中含有大肠杆菌， 浓度为 106 个/100 mL。在同岸下游 24.1 km 处有一游泳场， 在对岸下游 16.1 km处有一自来水吸水点。大肠杆菌的自 然衰减系数 kd = 10d-1，横向混合系数My =0.0398m2/s。问 游泳场和吸水点处的大肠杆菌浓度各是多少？
简捷的解法
第五节 河流中非守恒物质污染带的计算
c x
A
2c y2
Bc
无降解情形
c1 x
A
2c1 y 2
（5-6-4）
式中：c1为无降解时污染带基本方程的解
可以证明式有降解情况下的解为
cc1expB()x
（5-6-5）
使用反证法：将式（5-6-5）对x求偏导数，有
x c c x 1exB p)பைடு நூலகம் xB1e cxB p)(x