解题步骤一、求极限：1）先代入判类型2）再根据类型确定方法，如用到现成结论须说明。
例1、 1lim sinx x x→∞⋅ 【解】：（1）0⋅∞型（2）原式=1sinlim11x x x →∞=（由第一个重要极限得）或原式=1lim 1x x x →∞⋅= （由等价无穷小111,0sinx x xx→∞→⇒） 例2、24321lim sin 213x x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-++⎝⎭【解】：（1）0⋅有界函数（2）231lim 021x x x x →∞-=-+，42sin 3x x +有界由无穷小性质：原式=0例3、1lim ln x x e ex→-【解】：（1）型 （2）利用洛必达法则：原式=()()11limlim 1ln xxx x e e e e x x→→'-==' 二、求导数：1、利用定义求导数：1）先写出导数定义式 ()()()()()0000000limlim x h f x x f x f x h f x f x x h∆→→+∆-+-'==∆ ()()()()00000limlimx x x f x x f x f x f x x x x →→+--==- 导函数：()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆2）再将要求的式子凑成定义式例1：设()1f a '=，求()()1431lim1x f x f x →---【解】：（1）()()()111limh f h f f h→+-'=（2）令1x h -=， 原式=()()()()()()030131131limlim 33133h h f h f f h f f a h h→-→----'=⋅-=-=-- 例2：设()2f a '=，求()1lim 22n n f f n →∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【解】：（1）()()()0222limh f h f f h→+-'=（2）令1h n=， 原式=()()()022lim2h f h f f a h→+-'==例3：设有任意的,x y 有()()()f xy f x f y =+且()11f '=，证明： 当1x ≠时()1f x x'=【证明】：（1）()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆（2）()()()0lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆()01lim x x f x f x x x ∆→⎡∆⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=∆ ()()01lim x x f x f f x x x∆→∆⎛⎫++- ⎪⎝⎭=∆ （由已知） ()()011111lim 1x x f f x f x x x xx∆→∆⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=⋅=⋅=∆ （()()()()10f xy f x f y f =+⇒=）2、求导数（复合函数、隐函数、参数方程导数、） 复合函数求导：1）分解函数成简单函数。
2）写出复合函数的求导公式。
()()()()),dya y f u u x f u x dxϕϕ''==⇒=⋅ ()()()()()()),,dyb y f u u v v x f u v x dxφϕφϕ''===⇒=⋅⋅()()()()()()()()()),,dyc y f u u g x v v x f u g x v x dxφϕφϕ''''==+=⇒=⋅+⋅3）最后将中间变量回代。
例1、()2ln 1y x x =++，求dy dx【解】：（1）2ln ,1y u u x x ==++ （2）()()()22121ln 1211dy x u x x x dx u x x +''=⋅++=+=++例2、y f=，求y '【解】：（1）()2,1y f u u v x ===+ （2）()()()212y f u x f u x f ''''''=⋅⋅+==例3、(ln y x =，求y '【解】：（1）2ln ,1y u u x v x ===+（2）()()21ln 112y u x x x u ⎛⎫⎛⎫'''''=⋅+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1⎛⎫=+= ⎝隐函数求导：1）写明等式两边同时对x 求导。
2）利用复合函数的运算法则进行求导，遇含y 的函数则先对y 求导再乘以y '。
3）解出y '表达式。
4）如求()0y x '，则无需操作第3）步，只需将00,x y 代入2）中方程解得。
例1、方程224yx xy y e ++=确定函数()y f x =，求y '【解】：(1)等式两边同时对x 求导：()()224yx xy ye ''++=（2）()()()()22482yyxxy y e x x y xy y y ey ''''''''++=⇒+++⋅=⋅（3）82y x yy e x y+'=--例2、方程1sin ln0x xy y+-=确定函数()y f x =，求()0y ' 【解】：（1）当0x =时1y =（2）等式两边同时对x 求导：1sin ln 0x xy y '⎛⎫+'-= ⎪⎝⎭（3）()()()()()()()sin ln 1ln 0cos ln 1ln 0xy x y xy xy x y '''''''-++=⇒⋅-++= ()()11cos 101xy x y xy x y x y''''⇒⋅+-⋅++⋅=+ ()11cos 01xy y xy y x y''⇒⋅+-+⋅=+，将0,1x y ==代入方程得 ()()()()11cos010********y y y '''⇒⋅+⋅-+⋅=⇒=+ 参数方程()()x t y t φϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩求导：1）先分别求出()(),x x φϕ'' 2）写出公式()()()t dy f t dx t ϕφ'=='， ()()22dy d f t d y dxd x dx t φ⎛⎫⎪'⎝⎭==' 3）进行整理（若要求二阶导数的话）例1、设sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求22,dy d y dx dx 【解】：（1）()()sin cos t t t φ''==()()()cos 2sin 222sin 2t t t t t ϕ'''==-⋅=-（2）()()2sin 24sin cos t dy tt dx t tϕφ'-===-'，令()4sin t f t -=（3） ()()()224sin 4cos 4cos cos f t t d y tdx t t tφ''--====-' 3、对数求导法：适用于求幂指函数或多个因子的乘积或商的导数 1）等式两边同时取对数。
2）等式两边同时对x 求导（利用隐函数求导方法，等式左边的导数为1y y'⋅）。
3）整理，并将y 的表达式代入。
例1、设()sin 0x y x x=，求y '【解】：（1）等式两边同时取对数：sin ln ln ln sin ln xy x y x x =⇒=⋅（2）等式两边同时对x 求导：()()ln sin ln y x x ''=⋅ ()()1sin ln sin ln y x x x x y'''⇒⋅=⋅+⋅ ()11cos ln sin y x x x y x ⎛⎫'⇒⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭（3）()sin 1sin cos ln sin cos ln x x y x x x y x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=⋅+⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦注：若一函数不能直接用法则或上述方法求得，则将其分成若干个函数分别求然后再用法则。
例2、设()2sin ,0xx y x e x =+，求y '【解】：不能直接用对数求导法 （1）设2sin 123123;x x y y x y e y y y y ''''===⇒=-+ （2）()()1111ln ln ln 1ln 122y y x x x =⇒=++-- ()()()111ln ln ln 1ln 122y x x x '⎛⎫'⇒=++-- ⎪⎝⎭()()()()111111112121y x x y x x x '''⇒⋅=+⋅+-⋅-+-()()11112121y x x x ⎡⎤'⇒=+-⋅⎢⎥+-⎣⎦sin 2xy x =⇒由上题知sin 2sin cos ln xx y x x x x ⎛⎫'=⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 23x y e =⇒由复合函数求导()22232x x y e xxe ''=⋅= （3）()()2sin 111sin cos ln 22121x x x y x x x xe x x x x ⎡⎤⎛⎫'=+-⋅⋅+⋅+⎢⎥ ⎪+-⎝⎭⎣⎦ 4、分段函数导数：1）写出()f x 在分段点处函数值。
2）利用左右导数的定义式求出分段点处的左右导数 ()()()0000lim x x f x f x f x x x --→-'=-； ()()()000lim x x f x f x f x x x ++→-'=-。
3）其他点处直接用求导公式求，最后导函数写成分段函数形式。
例1、设()2,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨⎩，求()0f '及()f x '【解】：（1）()2,00,0,0x x f x x x x ⎧⎪==⎨⎪≥⎩（2）()()()000lim x x f x f x f x x x --→-'=-()()()00000lim lim 10x x f x f x f x x---→→--'⇒===- ()()()0000lim x x f x f x f x x x ++→-'=-()()()200000limlim 00x x f x f x f x x+++→→--'⇒===- ()()()000f f f -+'''≠⇒不存在（3）()()()0,1xf x x f x x ''=⇒==()()()220,2xf x x f x x x ''=⇒==（4）()1,002,0x f x x x x ⎧⎪'==⎨⎪⎩不存在，5、高阶导数：先求一阶，整理，然后逐阶求 ()()()()n n n u v uv ±=±; ()()()()0nn n k k k n k uv c u v -==⋅∑ 例1、设ln y x x =，求y '' 【解】：（1）()1ln ln ln 1y x x x x x x''==+⋅=+ （2）()1ln 1y x x'''=+= 例2、设2156y x x =-+，求()n y 【解】：（1）()()()11113232n n ny y x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⇒=- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭（2）()()()()()()12313131233u x u x u x x ---'''==-⇒=--⇒=---- ()()()()()()()11......12...31!3n n n n u n x n x ----⇒=----=-⋅⋅-同理()()()()11121!22n n n v x v n x x ---==-⇒=-⋅⋅-- （3）()()()()()()111!32nn n n n n yu v n x x ----⎡⎤=-=-⋅⋅---⎣⎦例3、设22xy x e =⋅，求()20y【解】：（1）()()2221,2,3...20kxk x u eu e k =⇒=⋅=()()22,2,...03,4,...k v x v x v v k n '''=⇒====（2）()()()()()0nn n n k k k n k yuv c u v -===⋅∑ ()()()2020222022192182201922022222!x x x xyx e e x e x e ⋅=⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()202222095xe x x =⋅++6、求微分：1）用上述步骤求出()y x '。