§11.3 变量间的相关关系与独立性检验⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧、不相关、非线性相关、线性相关、不确定的相关关系、确定的函数关系两个变量的关系32121 1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线叫回归直线．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． (4)相关系数①r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x)2∑ni ＝1(y i －y )2或()()12211ni i i n ni i i i x ynx yr x x y y ===-=--∑∑∑；②当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当r 的绝对值>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系。

2．线性回归方程 (1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线ˆˆˆybx a =+的接近程度，使得上式达到最小值的直线ˆˆˆy bx a =+就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法（使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法）． (2)回归方程方程ˆˆˆybx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中，是待定参数．121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑[]112222212()()()()...()()()()...()nnnx x y y x x y y x x yy x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦或者1221ˆni ii nii x ynx ybxnx ==-=-∑∑[]1122222212...,...n n nx y x y x y nx y x x x nx++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦ˆˆay bx =- 线性回归方程过样本点的中心（，）3、回归分析(1)y ＝bx ＋a ＋e 中，a 、b 称为模型的未知参数；e 称为随机误差．(2)随机误差e 的估计值e ˆ（a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=）叫做相对于点（x i ，y i ）的残差。

残差平方和越大，则拟合效果越好，否则反之。

(3)相关指数用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝∑∑==---n i ini i iy yyy1212)()ˆ(1 ，R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R 2越接近于1，表示回归效果越好． 4．独立性检验设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2；变量B ：B 1，B 2；其2×2列联表：BAB 1 B 2 总计 A 1 a b a ＋b A 2cdc ＋d 总计 a ＋c b ＋dn ＝a ＋b ＋c ＋d构造一个随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 通常当K 2<2.706时,认为没有充分依据显示两个变量有关，但也不能显示无关。

参考数据：1．已知x 、y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝________.答案 2.6 解析 因为回归直线必过样本点的中心(x ，y )， 又x ＝2，y ＝4.5，代入y ＝0.95x ＋a ，得a ＝2.6.2．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程：y ＝0.254x ＋0.321.由线性回归方程可知，家庭P (K 2≥k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0.4550.708 1.323 2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加______万元．答案0.254解析由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是() A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg答案 D 解析由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本点的中心(x，y)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确．当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确．题型一两个变量间的相关关系例15个学生的数学和物理成绩如下表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否具有相关关系．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示．由散点图可知，各组数据对应点大致在一条直线附近，所以两者之间具有相关关系，且为正相关．对变量x，y有观测数据(x i，y i) (i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u、v有观测数据(u i，v i) (i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案 C 解析 由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x 与y 负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u 与v 正相关．题型二 线性回归分析例2．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：（1）请根据上表数据，用相关系数说明与的线性相关程度；（保留两位小数，参考数据:414.12≈）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．参考公式：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，；相关系数r=∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x)2∑ni ＝1(y i －y )2； 详解：（1）6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，＝＝4， 62＋82＋102＋122＝344．，线性相关性非常强.(2)158， =9，＝4，344．＝＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为＝0.7x －2.3．（3）由(2)中线性回归方程知，当x ＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．① “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11 日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：x 2 3 4 5 6 8 9 11 y12334568（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系；（2）根据(1)的结果，建立y 与x 的回归方程，并预测当24x =时，对应的利润ˆy为多少（ˆˆˆ,,b a y 精确到0.1）. 附参考公式：回归方程中ˆˆˆybx a =+中ˆb 和ˆa 最小二乘估计分别为1221ˆni ii nii x ynx y b xnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-，相关系数()()12211ni i i n ni i i i x ynx yr x x y y ===-=--∑∑∑．参考数据：()()88882221111241,356,8.25,6i ii iii i i i x yx x x y y ======-≈-=∑∑∑∑．答案及解析：（1）由题意得6,4x y ==．又()()88882221111241,356,8.25,6i ii iii i i i x yx x x y y ======-≈-=∑∑∑∑，所以()()8188221182418640.990.818.256i i i i i i i x yx yr x x y y ===--⨯⨯=≈≈>⨯--∑∑∑，所以y 与x 之间具有线性相关关系. 因为81822218241864ˆ0.7356868i ii ii x yx ybxx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， （2）因为ˆˆ40.760.2ay bx =-≈-⨯=-， 所以回归直线方程为ˆ0.70.2y x =-， 当24x =时，ˆ0.70.20.7240.216.6yx =-=⨯-=，即利润约为166万元.②下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x (单位：吨）与相应的生产能耗y （单位：吨）的几组对应数据：x 3 4 5 6 y2.5t44.5根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表格中t 的值为 .答案：3题型三 线性回归分析例3．已知药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该中药用昆虫的6组观测数据如表： 温度x /℃212324272932产卵数y /个 6 11 20 27 57 77经计算得：6666211111126,33,()()557,()84,66i i i i i i i i i x x y y x x y y x x ========--=-=∑∑∑∑621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和为31670605.8≈e ，分别为观察数据中温度和产卵数1,2,3,4,5,6i =，（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1 ）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程xe y2303.006.0ˆ=，且相关指数20.9952R =，①试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果更好的模型预测温度为35℃时该中药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分为121()()ˆˆˆ,()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，相关指数R 2＝∑∑==---n i ini i iy yyy1212)()ˆ(1答案及解析：（1）依题意，61621()()557ˆ6, 6.684()iii ii x x y y n bx x ==--===≈-∑∑， 所以ˆ33 6.626138.6a≈-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.6138.6yx =-。