7.25
4
0.462830 0.860911 1.0
5
0.462617 0.860814 1.0
6
0.462598 0.860806 1.0
7
0.462598 0.860806 1.0
7.189655 7.184652 7.184245 7.184210
系统的第一阶固有频率和主振型
1
1 0.373087
标准特征值问题的特征行列式为
AI 0
(1)n
n
(a11
a22
a ) n1 nn
(1)
A
0
动力矩阵的对角线元素 由代数方程理论，多项式根与系数关系的韦达定理
1 2 nn a11 a22 ann
a11 a22 ann
动力矩阵A的迹
trA
n
i trA
i1
若质量矩阵M为对角阵，动力矩阵的迹为
M 对角线元素
trA tr δM 11m1 m 22 2 m nn n
δ 对角线元素
1
设弹性系统只保留第 i 个质量 mi
δ ii
及相应的弹簧δii ,则系统视为单自由度 系统的固有频率为
2 i
kii mi
1
iimi
i 1, 2, , n
n i1
i
1 2
1
1 2
2
1 2
n
4
0.462892 0.860913 1.0
7.189723
5
0.462621 0.860816 1.0
6
0.462600 0.860807 1.0
7
0.462598 0.860806 1.0
7.184718 7.184253 7.184214
系统的第一阶固有频率和主振型
1
1 0.373087
1
Φ(i)
i
向量
向量
x1 与 Φ(1) 不正交
Ax1
c Φ(1) 11
c2 2Φ(2)
c Φ(n) nn
x2
Ax1
1
c Φ(1) 1
c2
2 1
Φ(2)
cn
n 1
Φ(n)
所占比重增加 1
1
所占比重减少
动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振型在迭代向量中的优势
x3
Ax 2
2 1
ห้องสมุดไป่ตู้c1
Φ(1)
b1尽管很小，但若直接用动力矩阵A
举例 矩阵迭代法计算系统的基频及主振型
x1
x2
x3
k
m
k
2k
m
2m
系统质量矩阵和刚度矩阵
m
M
m
2m
2k k 0
K
3k
2k
2k
1
选取初始迭代向量
x1
1
1
系统动力矩阵
1 1 2
A
K M 1
m k
1
2
4
1 2 5
r1 2
1 0.5
xr 1 0.875
1 1.0
k m
1
8
3
0.465517 0.862069 1.0
1
1
2 1
tr δM
1 2
1
1 2
2
1 2
n
邓柯莱法计算系统的基频为精确解的下限
只有当 1 2 (1 2 )时，迹法可给出比较准确的基频估算值
算例表明，梁结构通常具有以上的特点
举例 三自由度梁弯曲的固有频率与主振型
m
2m
m
系统的质量矩阵与柔度矩阵
m
M
2m
m
9 11 7
δ
16
11
9
l3
768 EJ
1
1
2 1
1 2
1
1 2
2
1 2
3
9 m 32 m 9 m
50 l 3m 768 EJ
1 3.9192
EJ ml 3
* 4.0248 EJ
1
ml 3
举例 均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量M时的基频
M m EJ
均质简支梁的基频 2 EJ
ml 3
记简支梁的基频为 1 2
x r1
Axr
c Φ r
(1)
11
1xr
迭代后的新向量与原向量个对应元素间仅相差一常数倍 λ1
1
1
1
Φ(1) xr
x r 1, l
1
xr ,l
l 1, 2,n
迭代过程中应对迭代向量作归一化处理
迭代过程收敛速度取决于比值
i 1
r
(i
2,3,, n) 趋于零的速度
迭代次数取决于系统本身的物理参数和试算向量的选取
EJ ml 3
不计简支梁质量时系统的固有频率为 2
k m
48 EJ Ml3
均质梁中央附加集中质量M时的基频
111
2
2
2
1
2
2 1
2 2 12
2 1
2 2
4
EJ ml 3
1 4M
48m
M=m
1 5.671
EJ ml 3
1
~ 1 5.684
EJ ml 3
Dunkerly法 精确解
Rayleigh法
1 M p1
Φ (1)
T Mx1
动力矩阵迭代
Ax1
a Φ(1) 11
a Φ(2) 22
an
Φ(n) n
取
x2 Ax1 a1 1Φ(1)
不包含有Φ(1)的成分
x2
A
Φ 1
(1)
M p1
Φ (1)
TM
x1
由于计算过程中的舍入误差，x2内仍有可能存在 Φ (1)的残余成分
x2 b1 Φ(1) b2 Φ(2) bn Φ(n)
1
k m
0.462598
Φ (1)
x7
0.860806
1.0
1
试算向量取系统静载作用时的静变形
x1
2
2.5
0.4
x1
0.8
1.0
r1
2
3
0.4 0.514286 0.466403
xr 0.8 0.857143 0.861660
1 1.0
1.0
k m
1
7
7.228572
3-2 矩阵迭代法
工程中的振动问题的响应分析中，系统的低阶固有频率及主振型占有 重要地位
矩阵迭代法是求解系统低阶固有频率和主振型的一种简单实用的方法
第一阶固有频率及主振型
KΦ 2MΦ AΦ Φ
给定一个初始迭代向量 x1，由展开定理
x1
c Φ(1) 1
c2 Φ(2)
cn Φ(n)
AΦ(i)
多自由度体系近似计算方法
3-1 邓柯莱(Dunkerly)法
邓柯莱（Dunkerly法）
迹法
方法特点：简单实用
确定系统基频的估算公式
定义 系统的动力矩阵为
A δM K M 1
n个自由度系统的特征值问题为
AΦ Φ
1 2
标准特征值问题
若将特征值按降序排列 1 2 n
系统的基频为
1
1
2 1
c2
2 1
2
Φ(2)
cn
n 1
2
Φ
(n
)
第一阶主振型在迭代向量中的优势继续扩大
xr
Ax r1
c Φ r1
(1)
1
1
c2
2 1
r1
Φ(2)
cn
n 1
r1
Φ(
n)
随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越大。当迭代次数 充分大时，可近似地得到
x c Φ r1
(1)
r
11
k m
0.462598
Φ (1)
x7
0.860806
1.0
较高阶固有频率及主振型
采用动力矩阵迭代的过程，总是不断 扩大第一阶主振型的比重。
能否求出第二阶以上的系统固有频率 和主振型？
对于试算初始向量
x1
a Φ(1) 1
a2 Φ(2)
an Φ(n)
左乘 Φ(1) T M
a1