曲线与方程编稿：辛文升审稿：孙永钊【考纲要求】1.了解轨迹的背景、含义和概念2.能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求出曲线的轨迹方程，画出某些简单方程所表示的曲线；3.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，4.掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；渗透数形结合思想。
【知识网络】轨迹数学思想与方法求轨迹方程的常用方法轨迹的概念、意义【考点梳理】【高清课堂：曲线与方程408396知识要点】考点一：曲线与方程的定义1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（轨迹的纯粹性）；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（轨迹的完备性）；那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
2.定义的理解：设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，{(,)|(,)0}Q x y f x y ==，若设点00(,)M x y ，用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：（1）00(,)M P x y Q ∈⇒∈，即P Q ⊆；（2）00(,)x y Q M P ∈⇒∈，即Q P ⊆。
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：（1）00(,)x y Q M P ∉⇒∉；（2）00(,)M P x y Q ∉⇒∉。
显然，当且仅当P Q ⊆且Q P ⊆，即Q P =时，才能称方程0),(=y x f 为曲线C 的方程；曲线C 为方程0),(=y x f 的曲线(图形)．要点诠释：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法考点二：求曲线方程的一般步骤求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合()P M ；（3）用坐标表示条件()P M ，列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程。
要点诠释：1.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式——根据“形”设方程的形式，但当椭圆（或双曲线）的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为221mx ny +=；定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
2.求曲线的轨迹方程常采用的方法有：直接法、定义法（待定系数法）、相关点法（转移）、参数法。
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。
(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义（待定系数法）直接探求。
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程。
(4)参数法：若动点的坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，然后消去参数，就得到轨迹的普通方程。
3.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。
【典型例题】类型一：曲线和方程的关系例1.下列命题中，真命题的个数是（）①若曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解，则C 的方程是(,)0f x y =②若以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点，则方程(,)0f x y =的曲线是C③若以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点，则曲线C 的方程是(,)0f x y =A．0B．1C．2D．3【思路点拨】对“曲线的方程”、“方程的曲线”的正确理解是解题的关键。
【答案】A 举一反三：【变式1】如果命题“坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C 上”不正确，那么下列命题中正确的是（）.（A）曲线C 上的点的坐标都满足方程F(x,y)=0;（B）坐标满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C 上；（C）坐标满足方程F(x,y)=0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上；（D）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程F(x,y)=0.【答案】D【变式2】“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是“曲线C 的方程(,)0f x y =”的（）条件.A．充分B．必要C．充要D．既不充分又不必要【答案】B【变式3】若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A．（33-，33）B．（33-，0）∪（0，33）C．[33-，33]D．（-∞，33-）∪（33，+∞）【答案】B例2（2015浙江校级模拟）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱DD 1⊥底面ABCD ，P为底面ABCD 内的一个动点，当△D 1PC 的面积为定值b （b ＞0）时，点P 在底面ABCD 上的运动轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【答案】A【解析】因为侧棱DD 1⊥底面ABCD ，P 为底面ABCD 内的一个动点，△D 1PC 的面积为定值b （b ＞0），所以点P 到线段D 1C 的距离为定值，所以在空间点P 的圆柱的侧面，因为点P 在平面ABCD 上，所以运动轨迹为椭圆，故选：A ．举一反三：【变式1】（2014襄城区校级模拟）过椭圆C ：+=1上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|（λ≥1）．当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（）A ．（0，]B ．（，]C ．[，1）D ．（，1）【答案】C【解析】：设P （x 1，y 1），Q （x ，y ），因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为（3，y ）．又∵|HQ|=λ|PH|（λ≥1），所以=，∴由定比分点公式，可得x 1=，y 1=y ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹方程为+=1∴离心率e==∈[，1）．故选：C ．类型二：定义法求轨迹例3.某检验员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的标准圆柱，检测一个直径为3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【思路点拨】建立恰当的坐标系，找到顶点满足的几何条件结合圆锥曲线的定义解决问题。
【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则||1PA r =+，||1.5PO r=-∴||||(1)(1.5) 2.5PA PO r r +=++-=，∴点P 在以A、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为22116()241253x y ++=①同理P 也在以O、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为2214()123y x -+=②由①、②可解得912(,)1414P 、912(,1414Q -∴2239123()()214147r =-+故所求圆柱的直径为67cm 。
【总结升华】本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键。
注意在求出了方程以后讨论x 的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性。
举一反三：【变式1】舰A 在舰B 的正东6千米处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，4秒后B、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹，设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是3320g 千米/秒，其中g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少？【答案】取AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系。
由题意可知，舰(3,0)A 、(3,0)B -、(5,23)C -.由于B、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则||||PB PC =.于是P 在线段BC 的中垂线上，易求得其方程为3330x y -+=.又由A、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒，知||||4PB PA -=，故知P 在双曲线22145x y -=的右支上，直线与双曲线的交点为(8,53)，此即为动物P 的位置，利用两点间距离公式，可得||10PA =.据已知两点的斜率公式，得3PA k =,所以直线PA 的倾斜角为060,于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东030.设发射炮弹的仰角是θ，初速度02033g v =，则θθcos 10sin 200⋅=⋅v g v ,∴20103sin 22g v θ==,∴仰角030θ=.类型三：直接法求轨迹例4.已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线【思路点拨】依据题中已知条件直接列出几何关系式子，再将其“翻译”成数学语言即可。
【解析】建立坐标系如图所示，设||2AB a =,则(,0)A a -、(,0)B a ，设(,)M x y 是轨迹上任意一点，则由题设，得||||MA MB λ=,坐标代入，得2222()()x a y x a yλ++=-+,化简得：2222222(1)(1)2(1)(1)0x y a x a λλλλ-+-+++-=(1)当1λ=时，即||||MA MB =时，点M 的轨迹方程是0x =，点M 的轨迹是直线0x =(即y 轴)(2)当1λ≠时，点M 的轨迹方程是222222(1)01a x y x a λλ++++=-，点M 的轨迹是以22(1)(,0)1a λλ+-为圆心，22|1|a r λλ=-为半径的圆。
【总结升华】注意在求出了方程以后确定轨迹是什么曲线时必须对λ的取值进行讨论。