L 时时， （1）摩擦力做功多少？ （2）弹性力做功多少？ （3）其他力做功多少？ （4）外力做的总功是多少？ 8. 小球系于细绳的一端，质量为 m ，并以恒定的角速
度 ω 0 在光滑水平面上围绕一半径为 R 的圆周运动。细 绳穿过圆心小孔， 若手握绳的另一端用力 F 向下拉绳，使小球运转的半径减小一半， 求 力对小球所做的功。 9. 如图所示， 一小车从光滑的轨道上某处由
9. 解：由题意知小车飞越 BC 缺口时做斜抛运动，其射程 BC = 2 R sin α 。 设小车在 B 点时的速度为 υ B ， 欲使小车 刚 好 越 过 BC ， 应 满 足 2υ B ⋅ sin α g
-7-
2 R sin α = υ B ⋅ cos α ⋅
自治区精品课程—大学物理学
题库
gR （1） cos α 由 A 点运动到 B 点时机械能守恒得： 1 2 mgh = mg ( R + R cos α ) + mυ B （2） 2 由式（1）与（2）得 1 h = (1 + cos α + )R 2 cos α
自治区精品课程—大学物理学
题库
第三章 功和能
一、 填空 1. 功等于质点受的 和 的标量积，功是 变化的量度。 2. 物理学中用 来描述物体做功的快慢。力的瞬时功率等于 与 的标积。对于一定功率的机械，当速度小时，力就 （填“大”或“小” ） ， 速度大时，力必定 （填“大”或“小” ） 。 3. 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量，此即 定理。 4. 质点动能定理的微分形式是 。 5. 质点动能定理的积分形式是 。 6. 按做功性质，可以将力分为 和 。 7. 所做的功只取决于受力物体的初末位置，与物体所经过的路径无 关。做功与路径有关的力叫做 。 8. 物体在 力作用下，沿任意闭合路径绕一周所做的功等于零。 9. 保守力做功与物体势能改变量之间的关系是 。 10. 若保守力做正功，则势能 （ “增加”或“减少” ） ，若保守力做负功， 则 势能 （ “增加”或“减少” ） 。 11. 势能的增量与势能零点的选取 （填“有关”或“无关” ） ，势能的大小 与势能零点的选取 （填“有关”或“无关” ） 。 12. 质点系内各质点之间的相互作用力称为 ，质点系以外的其他物体对 质点系内各质点的作用力称为 。 13. 质点系在运动过程中， 所做的功与 所做的功的总 和等于质点系的机械能的增量，此即质点系的 原理。 14. 在只 有 做功 的情 况下， 质点 系的机 械能 保持不 变， 这就是 定律。 15. 行星沿 轨道绕太阳运行， 太阳位于椭圆的一个 上； 对任一行星， 以 太阳 中 心为 参 考点 ， 行星 的 位置 矢 量在 相 等的 时 间内 扫 过的 面 积填 （ “相 等 ”或 “ 不 相等 ” ） ； 行星 绕 太阳 运 动的 和 椭圆 轨 道的 成正比。 16. 第一宇宙速度是 所需要 的速度。 17. 第二宇宙速度是 所需要的 最小速度。 18. 第三宇宙速度是 所需的 最小速度。 二、 简答 1. 2. 3. 4. 5. 简述质点动能定理的内容，并写出其微分形式和积分形式。 简述保守力做功与物体势能改变量之间的关系。 简述质点系功能原理的内容。 简述机械能守恒定律的内容。 简述行星运动的三大定律的内容。
P = mg − agy
其中 a = 0.2 kg m ，人对水桶的拉力的功为
W =∫
4.
10 0
F ⋅ dy = ∫
10 0
(mg − agy )dy = 882 J
dx = 3ct 2 dt
解：阻力 F = kυ 2
其中 υ =
dx = 3ct 2 dt
当 x = 0 时， t = 0 当 x = l 时， t = 3
A=
9.
A保 = E P 0 − E P = −∆EP 。
10. 减少，增加。 11. 无关，有关。 12. 内力，外力。 13. 外力，系统内非保守力，功能。 14. 保守内力，机械能守恒。 15. 椭圆，焦点，相等，周期的平方，半长轴的立方。 16. 物体可以环绕地球运动而不下落到地面。 17. 使物体完全脱离地球。 18. 由地球出发，使物体脱离太阳系。 二、 简答 ⎛1 ⎞ 1. 答：质点动能定理的微分形式： dA = d ⎜ mυ 2 ⎟ ； ⎝2 ⎠ 积分形式： A = 1 1 2 mυ 2 − mυ 0 = E K − EK 0 。 2 2
-3-
自治区精品课程—大学物理学
题库
υ 0 ，如图。问： （1）木块在何处（即 ϕ =？）脱离圆塔。 （2）初速度为多大时，
方能使木块在一开始便脱离圆塔？
ห้องสมุดไป่ตู้-4-
自治区精品课程—大学物理学
题库
第三章 功和能 参考答案
一、 填空 1. 力，位移，能量。 2. 功率，力，受力点速度，大，小。 3. 动能。 1 2 ⎞ 4. dA = d ⎛ ⎜ mυ ⎟ 。 ⎝2 ⎠ 1 1 mυ 2 − mυ 0 2 = E K − EK 0 。 2 2 6. 保守力，非保守力。 7. 保守力，非保守力。 8. 保守力。 5.
-5-
自治区精品课程—大学物理学
题库
第三宇宙速度是有地球出发，使物体脱离太阳系所需的最小速度。 三、 计算 1. 解： （1） A = mgh = 50 × 9.8 × 2 = 980J （2） W = mgh + 2. 解：根据受力平衡，可知： mg = kx 1 1 mυ 2 = 980 + × 50 × 12 = 1005 J 2 2
2. 答： A保 = E P 0 − E P = −∆EP ，即保守力做功与物体势能增量的负值相等。 3. 答：质点系在运动过程中，外力所做的功与系统内非保守力所做的功的总和 等于质点系的机械能的增量，此即质点系的功能原理。 4. 答：在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变，这就是机械 能守恒定律。 5. 答：行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上；对任一行星， 以太阳中心为参考点， 行星的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积； 行星绕太阳运动周期的平方和椭圆轨道的半长轴的立方成正比。 6. 答： 第一宇宙速度就是物体可以环绕地球运动而不下落到地面所需要的速度。 第二宇宙速度是使物体完全脱离地球所需要的最小速度。
r3
， k 为常量。试求两粒子相距为 r 时的势能，设力为零的
r = a cos ωt i + b sin ωt j ， r 式中 a ， b ， ω 是正值常数，且 a ≻ b 。
（1）说明这质点沿一椭圆运动，方程为
�
x2 y 2 + = 1； a2 b2
（2）求质点在 A 点 (a ,0) 时和 B 点 (0, b ) 时的动能； （3）当质点从 A 点到 B 点，求力 F 所做的功，并求 F 的分力 Fx i 和 Fy j 所做的 功； （4） F 力是不是保守力？ 12 . 如果物体从髙为 h 处静止下落，试求（1）时间为自变量； 12. （2）高度为自变量， 画出它的动能和势能图线，并证明两曲线中动能和势能之和相等。 . 一质量为 m 的地球卫星，沿半径为 3R e 的轨道运动， R e 为地球的半径，已知 13 13. 地球的质量为 M e ，求（1）卫星的动能； （2）卫星的引力势能； （3）卫星的机械 能。 . 如图所示， 14 14. 小球在外力作用下， 由静止开始从 A 点出发做匀加速运动，到达 B 点时撤消外力，小球 无摩擦的冲上竖直的半径为 R 的半圆环， 到达最高 点 C 时，恰能维持在圆环上做圆周运动，并以此速 度抛出而刚好落回到原来的出发点 A 处， 如图试求 小球在 AB 段运动的加速度为多大？ . 如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量 15 15. 为 M ，从与水平倾角 α = 30° 斜面上的点 A 由静 止下滑。设斜面对车的阻力为车重的 0.25 倍， 矿 车下滑距离 l 时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运 动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自 动卸货， 然后矿车借助弹簧的弹性力作用， 使之返回原位置 A 在装货。试问要完成这 一过程，空载时车的质量与满载时车的质 量之比应为多大? . 半径为 R 的光滑半球状圆塔的顶点 A 16 16. 上，有一木块 m ，今使木块获得水平速度
l c
2
3
A = ∫ Fdx = ∫ − kυ dx = ∫
0 0
l
l
l c
2 7
0
− 27kc t dt = −27kc 3 l 3
3 6
5. 解： 由货车向上运动和向下运动的功率相等，可知
F上υ 上 = F下υ 下
-6-
自治区精品课程—大学物理学
题库
因货车在斜面上是匀速率行驶，故受力平衡 1 1 即： F上 = − mg − mg sin θ ； F下 = mg sin θ − mg 25 25 1 其中 sin θ = ， V上 = 20 km h 50 解得： V下 = 60 km h 6. 解：由摩擦力做功等于机械能增量的负值，可知：
µmgl + µmgl sinθ = mgh
h = l sin θ
（1） （2）
解得： µ = 7.
sin θ = 0.21 1 + sin θ
解： （1） A f = −µ k Mgl （ 2 ） 1
2
A = ∫ F dx =
0
l
∫ − kxdx = − 2kl
0
l
（3）重力和支持力做功为 0。 （ 4 ） 外 力 做 的 功 为 1 A总 = − µ k Mgl − kl 2 2 8. 1 解：根据角动量守恒，可知： mRυ 0 = m R υ ′ ； 2 解得： υ ′ = 2υ 0 ； 根据动能定理，且 υ 0 = R ω 0 小 球 所 做 的 1 1 3 A = mυ ′ 2 − mυ 0 2 = mR 2 ω 0 2 2 2 2 功 为 ：