第6章 变形计算
解:1.求各段轴力。 轴力图
第6章
变形计算
2. 求杆的总变形量。因为
故杆的总变形量为
第6章
变形计算
例 一构件如图所示，已知：P1=30kN， P2=10kN，AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2， E=200GPa。 试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力； (2) 杆的总伸长。 A 100 B P1 100 100 C D P2
Ε A AB
3
+
N BC l BC Ε A BC
3 6
+
N CD l CD Ε A CD
10 10 100 10
3 3 6
20 10 100 10
9 3
200 10 500 10
9
3 6
200 10 500 10
9
10 10 100 10 200 10 200 10
最大挠度及最大转角
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P L x
q x L
f
f
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变形计算
P x
q x
转动的角度。用 表示，顺
时针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg d
dx
1
(1)
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M>0
x
小变形
x M<0 式（2）就是挠曲线近似微分方程。 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
界条件、连续条件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺
点：计算较繁。
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例 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 L P 解： 建立坐标系并写出弯矩方程 x
写出微分方程的积分并积分
应用位移边界条件求积分常 数
第6章 P
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L
x
写出弹性曲线方程并画出曲线
O
A
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N max = γ Al
σ = N A
∴ σ max = N max A = γl
x
x
Al
+
= γx
l
m
m
A
O
Ax
x
O
N
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(2) 计算杆伸长，由于N为x的函数，因此不能满 足胡克定律的条件。在离杆下端为x处，假想 地截取长度为dx的微段，其受力如图所示。在 略去高阶微量的条件下，dx微段的伸长可写为
剪应变：即微单元体两棱角直角的改变量，为无量纲 量。
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纵向变形： 纵向应变： 虎克定律：
横向变形： 横向应变： 泊桑比：
第6章
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例. 圆截面直杆AD受力如图示，设横截面直 径d = 20mm, AB = CD= 1m, BC= 1.6m,材料 的弹性模量E = 200GPa, 试求杆的总变形量 。
C
100
D P2
10kN
③ 虽然杆AD不满足胡克定律的适用条件，但
AB段、BC段和CD却能分别满足胡克定律，
因此，我们可按胡克定律分别求AB、BC、 CD三段杆的伸长量，然后相加得到杆AD的总 伸长量。
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Δ l AD = Δ l AB + Δ l BC + Δ l CD
= N
AB
l AB
非均匀变形
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二、圆杆的扭转变形和相对转角
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三、梁的弯曲变形
度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。
与 f 同向为正，反之为负。 P C x 2.转角：横截面绕其中性轴 v C1
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A 100 N +
B P1 100 20kN
C 100
D P2
10kN
解：① 作轴力图如上图所示。
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② 求横截面上的应力 “ AB”， “ BC”， “ CD”段上任意横截 面上的应力分别为：
σ AB N
AB
20 10 500 10
3 6
40 10 Pa 40 M Pa
3
= 0 . 015 × 10
m = 0 . 015 mm
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即AD杆缩短了0.015mm。 D点向左位
移了0.015mm。
如果在杆总长范围内，不能满足杆伸长 计算公式的适用条件，但将杆分成若干段(n
段)每一段能分别满足式的适用条件。则杆的
总伸长公式为
n
Δl = ∑
i =1
N ili E i Ai
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例 试求自由悬挂
的直杆由于自重引起的
最大正应力和总伸长。
设杆长l，截面积A，容
重，弹性模量E均为已 知。
A
l
O
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解：(1) 计算杆内的最
大正应力，先求离下 端为x处截面上的正 应力，利用截面法， 得： l N(x) x
m
m
m x
m x
N ( x ) = γ Ax
A
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变形计算
第6章 变形计算
§6-1 杆件的基本变形
§6-2 叠加法求变形
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§6-1 杆件的基本变形 变形与应变 对于构件上任“一点” 材料的变形，只 有线变形和角变形两种基本变形，它们分别由线应变 和角应变来度量。
线应变：即单位长度上的变形量，为无量纲量，其物 理意义是构件上一点沿某一方向线变形量的大小。
d (Δ l ) N ( x)dx ΕA
dx
x N(x)+dN(x)
所以整个杆件的伸长为：
Δl
l 0
N ( x)dx ΕA
l 0
γA xdx ΕA
γl
2
2Ε
N(x)
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杆伸长计算公式：
Nl EA
均匀变形
N i li E Ai
Δl
i 1
n
分段均匀变形
l
N ( x)dx EA(x)
6
AAB N BC ABC N CD AC D
σ BC
10 10 500 10
3
6
20 10 Pa 20 M Pa
6
σ CD
10 10 200 10
3
6
50 10 Pa 50 M Pa
6
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A
100 N +
B P1
100 20kN
EI ( x ) M ( x )
"
第6章 1.微分方程的积分
变形计算
2.位移边界条件 P P
A
C
B
D
支点位移条件：
连续条件：
光滑条件：
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变形计算
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构 件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截
面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边
