谈如何求二项展开式的系数最大项
李海淼
我们先看一道例题：
例1. （1）求()7x 21+展开式中系数最大项；（2）求()7
x 21-展开式中系数最大项。

解：（1）设第1r +项系数最大，则有
⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--1r 1r 7r r 71r 1r 7r r 72
C 2C 2C 2C （*） 即()()()()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅--+≥⋅-⋅+--≥⋅-+-1r r 1r r 2!1r 7!1r !72!r 7!r !72!1r 7!1r !72!r 7!r !7， 得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥1
r 2
r 71r 81r 2，解得316r 313≤≤，所以5r =，所以系数最大项为第六项。

这道题目是在很多参考书上出现的一道比较典型的求系数最大项的例题。

但是这里有几个问题：
①如果系数最大项是最后一项，则1r 1r 72C ++⋅无意义，如果系数最大项是第一项，则
1
r 1r 72C --⋅无意义，显然用⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--1r 1r 7r r 71r 1r 7r r 72C 2C 2C 2C 并不合适， ②系数最大项是不是有且仅有一项？
③所列条件只是求出了系数比前后两项系数都大的项，有没有可能有另外更大的最大值
呢？现在我们研究对于()n
mx 1+的二项展开式，设第1r +项r r
n 1r m C T ⋅=+系数最大 则⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--1r 1r n r r n
1r 1r n r r n m C m C m C m C （*） 可以解得
m
1m nm r m 11nm ++≤≤+-。

若系数最大项为最后一项，则n m
11nm >+-1-得到n m >，例如求()4x 51+二项展开式系数最大项时，因为45>，所以系数最大项是最后一项。

若系数最大项为第一项，则1m 1m nm <++得到1nm <，例如求4
x 511⎪⎭
⎫ ⎝⎛+二项展开式系数最大项时，因为1451<⨯，所以系数最大项是第一项。

因为()7x 21+中不符合系数最大项是第一项或最后一项的特点，所以用
⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--1r 1r 7r r 71r 1r 7r r 72
C 2C 2C 2C 解答没有问题，这样我们解决了问题①；又因为1m
11nm m 1m nm =+--++，我们同时可以得出一个结论：形如()n mx 1+（0m >）二项展开式系数最大项最多只有两项，这样也解决了问题②；对于问题③，这里我们碰到一个问题，以前特别是在碰到函数问题时，其实我们求最大值并不是这样求的，所以这里必须说明，如果最大值是另外一个值，那么显然应该满足（*）式，也可以从（*）式解出来，但（*）式没有解出别的值，所以（*）式解出的就是最大值。

这样我们解决了问题③。

（2）对于()7
x 21-二项展开式，我们知道奇数项的系数为正，但经过观察我们只要比较第五项系数()4
472C -⋅和第七项系数()6
6
72C -⋅大小，结论从略。

但是不是只能用这种观察的方法呢，有没有一般的方法呢？
如果对于一般情况()n
mx 1-（0m >）， 从⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--1r 1r n r r n
1r 1r n r r n m C m C m C m C （*） 可以解得m
1m nm r m 11nm ++≤≤+-，我样可以判断对于()n mx 1+（0m >）它的二项展开式项的系数的增减性一定是先增后减，所以如果m
11nm +-和m 1m nm ++是连续两个整数，那么其中那个偶数就是我们要求的r ，若m
11nm +-和m 1m nm ++不是整数，如果介于它们之间的整数是偶数，那就是我们要求的r ，如果是奇数，那么只要将1r +项左右两项系数进行比较就可以了。

例2. （1）求()20x 31-展开式子系数最大项；（2）求()9
x 21-展开式子系数最大项 解：（1）4
59311320m 11nm =+-⨯=+-， 463313320m 1m nm =++⨯=++，4
63r 459≤≤，15r =，所以只需要比较()1414203C -和()1616
203C -的大小即可。

大的那个就是我们所要求的最大系数，结论从略。

（2）31721192m 11nm -+-⨯=+-，32021292m 1m nm =++⨯=++，3
20r 317≤≤，6r =，所以系数最大项即为第7项，以下从略。