细节决定成败——集合问题中的陷阱
集合是数学中的最原始的概念之一，集合语言是现代数学的基本语言。

在每年的高考中必考，且以选择题为主，难度不大，属高考试题中的送分题。

但它涉及到中学数学的各个环节，稍不注意，就会出错。

为了跳出出题者所设计的陷阱，就必须注意集合中的一些细节，细节决定成败。

细节1、把握集合元素形式
例1 设集合A ＝｛平面上的直线｝，B ＝｛平面上的圆｝，则A I B 中的元素最多有 个．
错解： 由直线与圆的位置关系可知，最多有２个故填２。

错因分析： 上述解法把集合A 、B 中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了。

正解：集合Ａ中的元素形式是直线，集合Ｂ中的元素形式是圆，既是直线又是圆的是什么呢？故填０个。

例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．
错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．
错因分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，是表示函数的值域。

但集合B 中的元素为x ,是表示函数的定义域。

正解：A ＝{ｙ∣ｙ≥1} B ＝{ x ∣x ≥0}，所以故A ∩B=A
妙招：要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合中元素的形式，只有弄清了它们所具有的形式，才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算。

解题时应认真领会，以防出错．
细节2、 检验集合中元素的互异性
例３ 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ⊇B ，求a 的值．
错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．
正解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若
2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．而 当a ＝１时，Ｂ中有两个相同的元素1，与互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．
例４ 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 错解１：集合Ａ中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为－（ｂ＋２）。

错解２：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０ （１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2＝－１，此时Ａ中的元素之和为－２．
（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．
错因分析 上述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．
正解：集合Ａ中的元素是方程的根，由于22)1(4)2(b b b =+-+=∆，故当ｂ＝０时，方程有二重根－１，由集合中元素的互异性，集合Ａ＝｛－１｝，所以元素之和为－１；当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．
妙招：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．要注意分类，注意求得结果后再代入检验。

细节３、牢记空集的特殊性
例５ 设集合Ａ＝｛ｘ∣2x －２ｘ－３＝０｝Ｂ＝｛x| ax-1=0｝且ＡI Ｂ＝Ｂ，求实数a 的值。

错解：由Ａ＝｛３，－１｝Ｂ＝｛a 1｝又ＡI Ｂ＝Ｂ故Ｂ⊆Ａ所以13
1-=或a 错因分析 忽视了Ｂ＝φ的情形．
正解：由Ａ＝｛３，－１｝，Ｂ集合是方程ax-1=0的根，当a ＝０时，方程无根，此时集合Ｂ为空集，满足题意。

当a 不为０时，Ｂ＝｛
a 1｝所以131-=或a 综合可得13
1-=或a 或０。

例６、已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围。

错解：要使A B ⊆，应有⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥+-≤+41211121m m m m 解得：252≤≤m .
错因分析：错解忽略了φ=B 时的情况，因为当φ=B 时，A B ⊆亦成立。

正解：（1）当φ≠B 时，由错解可得：252≤
≤m 。

（2）当φ=B 时，121->+m m ，
解得：2<m ，所以m 的取值范围为：2
5≤m 。

妙招：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，注意集合是否为空集，即在限制条件 下均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑。

细节４、挖掘隐含条件
例７ 设全集Ｕ＝｛２，３，2a ＋２a －３｝，Ａ＝｛∣２a －１∣，２｝，A C U ＝｛５｝， 求实数a 的值．
错解：∵A C U ＝｛５｝，∴ ５∈Ｕ且 ５∉Ａ，从而，2a ＋２a －３＝５，解得a ＝２，或a ＝－４．
错因分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以首先必须满足Ａ⊆Ｕ．
正解：当a ＝２时，∣２a －１∣＝３∈Ｕ，符合题意；当a ＝－４时，∣２a －１∣＝９∉U ，不符合题意；故a ＝２．
妙招：在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的细节，养成细心、规范解题的好习惯。

细节５、注意等价转换
例８、设集合Ｍ＝⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=-+111|
),(x y y x Ｎ＝(){}1)1(,=+-y x a y x 且∅=⋂N M 求实数a.
错解：集合M 表示直线y=x -2上的点的集合，集合N 表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合。

又∅=⋂N M （即两直线平行时），故1-a=1，即a =0。

错因分析：将集合M 转化为直线y=x -2上的点的集合是不等价的，它应除去点（1，-1）。

正解：集合M 表示直线y=x -2上的不包括点（１，－１）的点的集合，集合N 表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合。

又∅=⋂N M （即两直线平行时），故1-a=1，即a =0。

或当集
合N 表示的直线过这个点时，也符合∅=⋂N M ，所以把点（１，－１）代入直线y=(1-a)x+1，解得a=3。

故a=0或3。

妙招：对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误。

解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性。

非常熟练三种语言的相互转化。

细节６、理解符号的含义
例9. 如图所示，A 、B 是两个非空集合，定义{}B x A x x B A ∉∈=-且|，则Ａ－（Ａ－Ｂ）是下图中的（ ）
A. I
B. II
C. III
D. I ⋃II ⋃III
错解：因Ａ－（Ａ－Ｂ）表示属于Ｂ而不属于Ａ，应选C 。

错因分析：上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使Ａ－（Ａ－Ｂ）在迁移运用时出现错误。

正解：Ａ－（Ａ－Ｂ）的正确理解应是属于Ａ而不属于集合Ａ－Ｂ，而A-B 为图中的区域I ，故Ａ－（Ａ－Ｂ）应为图中的区域II ，应选B 。

妙招：集合中的符号语言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。

对于某些新定义的集合问题，需要准确把握即时定义，理解定义中新符号的含义，“以旧带新”实现问题的转化。

以上就是学习集合必须注意的六个细节，把握住这些细节，就能跳出陷阱，做到高考“送分题，一分也不能少”。