函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。

第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。

下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。

还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。

要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。

证明：()f x 在任意点x 处连续。

分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。

其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。

你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。

在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。

证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。

（#）对于固定的x （任意的！），若取y x =∆，有()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆， （+）在（+）式两边取0x ∆→的极限，那么lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ∆→∆→∆→∆=+∆-=∆ ， （&）由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=，代入（#）的结果，就有lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ∆→∆→+∆=∆==，但从（&）知，0lim lim ()x x y f x ∆→∆→∆=∆，所以lim 0x y ∆→∆=。

根据函数连续的定义E ，()f x 在任意点x 处连续。

你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。

很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。

其实计算也并不轻松。

例1.2（例1.21（一））设常数0a ≠，212(1)1()lim 1n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--，求()f x 的分段表达式，欲使()f x 连续，试确定a 的值。

分析：首先要注意，函数()f x 不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。

所以它要求先写出()f x 的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a 的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。

这里需要计算极限的基本功。

()f x 中出现了几个幂函数 221,,nnn x x x+，根据幂函数的性质，x 的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响，所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。

所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。

（1）||1x <： 221,,nnn x x x+都趋于零（当n →∞时），所以1()11f x -==-。

（2）||1x >： 此时221,,nnn x x x +都将趋于无穷大。

为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数()f x ：2112122(1)11()lim11n n n n n n n a x x x f x x a x xx +++→∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭。

（3）1x =： 11()a af x a a--==-； （4）1x =-： 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n nn nn n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----， 极限不存在。

故得 ,11,1()1,||1,1x x a x f x ax x x >⎧⎪-⎪=⎪=⎨⎪<⎪<-⎪⎩。

欲使()f x 连续，即使()f x 在1x =连续，等价于11a a -=，故12a =。

例1.3 （例1.22（一））证明连续函数的局部保号性：设()f x 在0x x =处连续，且0()0f x >，那么存在0δ>，当0||x x δ-<时，()0f x >。

分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。

这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。

证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。

证明：因为()f x 在0x x =处连续，所以对任给的0ε>，总存在0δ>，使得当0||x x δ-<时，恒有0|()()|f x f x ε-<，也就是 0()()f x f x εε-<-<。

（+）若取 0()0f x ε=>，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ()0f x >； 若取01()02f x ε=>，那么就有 01()()2f x f x >。

（不过，此时的0||x x δ-<中的δ要变小） 当然，你也可以取不同的0ε>，当然δ要变。

如果我们只需要证实()f x 的值为正，那么取0()0f x ε=>就已经够了。

例1.4（例1.23（一）） 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零，证明1()f x 在[,]a b 也连续。

分析：我们需要证明的是：在[,]a b 上任取点0x ，对任给的0ε>，存在一个0δ>，使当0||x x δ-<时， 有011()()f x f x ε-<。

直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在0x 的一个邻域中有01()()2f x f x >！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。

证明：对任一0[,]x a b ∈，0()0f x >，0x 是()f x 的连续点。

由局部保号性，存在0x 的邻域01(,)N x δ，使得01()()2f x f x >。

所以在这个邻域中，002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<； 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知，对于任给0ε>，存在20δ>，使得当02||x x δ-<时，有200()|()()|2f x f x f x ε-<。

我们取12min(,)δδδ=，那么在这个更小的邻域中，（即0||x x δ-<）有002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<， 则有函数的连续的定义知， 0x 是函数1()f x 的连续点；又由0x 的任意性，得1()f x 在区间[,]a b 也连续。

例1.5 确定,a b 之值，使函数21,0()sin(),0x e x f x ax b x -⎧⎪>=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续。

解：在0x >和0x ≤两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。

所以，要使()f x 在整个实数域中连续，只需确定在0x =的连续性条件。

()f x 在0x =有定义，所以我们只需考虑它在0x =的极限。

0lim ()lim sin()sin x x f x ax b b --→→=+= 222111011lim ()lim lim 0lim x x x x xx x f x e e e +----→→→→====；由此得方程 sin 0b =， 容易解得： ,0,1,2,b k k π==±±，而对参数a ，连续性条件对它没有任何限制，所以a 可取任何实数。

例1.6 设,0(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，,1()1b x g x x <⎧=≥，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连续。

解：两个函数的定义域不同，所以它们之和()()f x g x +这个新函数的定义域需要加以明确。

显然，需要考虑3个区间：0,01,1x x x <≤<≥：,0()(),01,1x e b x f x g x a x b x a x x ⎧+<⎪+=++≤<⎨+≥。

现在可以对2个分界点0,1x x ==处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）：lim(()())lim()1xx x f x g x e b b --→→+=+=+， 0lim(()())lim()x x f x g x a x b a b ++→→+=++=+， 故有方程 1a b b +=+， （1） 又 11lim(()())lim()1x x f x g x a x b a b --→→+=++=++，11lim(()()))1x x f x g x a x +→+→+=+=+，又有方程11a b a ++=+， （2）联立（1）（2），解得1,a b ==。

练习题1 设()f x 满足条件：12,x x ∀，有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且()f x 在0x =处连续。

求证()f x 在整个实数域连续。

练习题2 设,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩，,0()1,0b x g x x x ≤⎧=⎨+>⎩，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连续。