§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习过程
一、课前准备
8687
复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是
复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若
12
33
OP OA OB
=+，试判断A,B,P三点是
否共线？
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：空间向量的共面
问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？
新知：共面向量：同一平面的向量.
2. 空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得 .
推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴存在，使
⑵对空间任意一点O，有
试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式
111
236
OP OA OB OC
=++,则点
P 与 A,B,C 共面吗？
反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP xOA yOB zOC =++,且点P
与 A,B,C 共面，则x y z ++= .
※ 典型例题
例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ） ①;OM OA OB OC =--
②111
;532
OM OA OB OC =++
③0;MA MB MC ++=
④0OM OA OB OC +++=.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量()17
,53
OP OA OB OC R λλ=++∈
则P,A,B,C 四点共面的条件是λ=
例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上
分别取点E,,F,G,H,并且使,OE OF OG OH
k OA OB OC OD
====
求证：E,F,G,H 四点共面.
变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的
中点，求证：E,F,G,H 四点共面.
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
练1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122
555
OP OA OB OC =++，试判
断：点P 与,,A B C 是否一定共面？
练2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※ 知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平
A B
C D F
E G H
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11A C 是（ ） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.
2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD y AB z AA =++,
则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .
4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1
()3
AB AD AA ++= AO .
5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.
A ．0 B.1 C. 2 D. 3 课后作业：
1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，
0a ≠，若//a b ，求实数,x y .
2.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：
,,,A B C D 共面．。