20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：7、反函数一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是（B.－ －1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ）A ．y =(x －1)2＋1，x ∈RB ．y =(x －1)2－1，x ∈RC ．y =(x －1)2＋1，x ≤1D ．y =(x －1)2－1，x ≤13．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f －1(4)等于（ ）A ．2B ．1－2C ．－2D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是 （ ）A ．y=－f (x )B ．y= f -1(x )C ．y =－f -1(x )D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]()242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（ ）A ．[)4,-+∞B ．[)0,+∞C ．[]0,4D ．[]0,126．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于 （ ） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b -7．已知函数()13ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ）A ．3-B ．1C ．3D ．1-8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ）A ．有且只有一个实数根B ．至少有一个实数根C ．至多有一个实数根D ．没有实数根9．函数f (x )=－22·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为 （ ）A ．(－∞，0］B ．(－∞，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点（ ）A ．(－1，4)B ．(－4，－1)C ．(－1，－4)D ．(1，－4)11．函数f(x)＝x1(x ≠0)的反函数f －1(x)＝ （ ） A ．x(x ≠0) B ．x 1(x ≠0) C ．－x(x ≠0) D ．－x 1(x ≠0)12、点(2，1)既在函数f (x )=abx a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有 （ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）13．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1[f (x )]=___ ； f [f －1(x )]=_____．14．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为___． 15．设f (x )=x 2－1(x ≤－2)，则f －1(4)=__ ________． 16．已知f (x )＝f －1(x )＝xm x ++12(x ≠－m )，则实数m =．三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．（1）已知f (x ) = 4x －2x ＋1 ，求f －1(0)的值．（2）设函数y = f (x )满足 f (x －1) = x 2－2x ＋3 (x ≤ 0)，求 f －1(x ＋1)．18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．（1）2()42()f x x x x R =-+∈； （2）2()42(2)f x x x x =-+≤． （3）1(0)1,,(0)x x y x x +>⎧=⎨-<⎩19．已知f (x )=13-+x ax （1）求y =f (x )的反函数 y = f －1 (x )的值域;（2）若(2，7)是 y = f －1 (x )的图象上一点，求y=f (x )的值域．20．已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，（1）求1()fx -及其1(1)f x -+；（2）求(1)y f x =+的反函数．21．己知()211x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭(x ≥1)，（1）求()f x 的反函数1()f x -，并求出反函数的定义域；（2）判断并证明1()f x -的单调性．22．给定实数a ，a ≠0，且a ≠1，设函数11--=ax x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠∈a x R x 1,且．试证明：这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形．参考答案一、选择题： DCCDD ACCAC BA二、填空题：13.x ，x ，14.x ≥－1，15.－5，16.m ＝－2三、解答题：17.解析：（１）设f －1(0)=a ，即反函数过(0，a)， ∴原函数过(a ，0)．代入得 ：0=4a －2a＋1，2a (2a －2)=0，得a =1，∴f)0(1-=1．（２）先求f (x )的反函数)2(1)1(),3(2)(11≥--=+∴≥--=--x x x f x x x f ．18.解析：⑴令()0,y f x ==得到对应的两根：120,4x x ==这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数．⑵由2()42f x x x =-+2(2)2x =--，得2(2)2x y -=+∵2x ≤，∴22x x -==，互换,x y 得2y =-又由2()42(2)f x x x x =-+≤的值域可得反函数定义域为[2,),-+∞∴反函数为1()2f x x -=-∈[2,)-+∞．⑶由1(0)y x x =+>得其反函数为1(1)y x x =->； 又由1(0)y x x =-<得其反函数为1(1)y x x =+<-．综上可得，所求的反函数为1(1)1(1)x x y x x ->⎧=⎨+<-⎩．注：求函数()y f x =的反函数的一般步骤是：⑴反解，由()y f x =解出1()x f y -=，写出y 的取值范围；⑵互换,x y ，得1()y fx -=；⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域)．⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．19.解析：（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y 1,≠∈y R }（２）∵(2，7)是y =f －1(x)的图象上一点，∴(7，2)是y =f (x )上一点． ∴,215215)1(2132)(212327≠-+=-+-=-+=∴=∴-+=x x x x x x f a a ∴f (x )的值域为{y |y ≠2}．20．解析：⑴∵22(1)211(1)1(0)f x x x x x +=++-=+->，∴2()1(1)f x x x =->，其值域为{|0}y y >，又由21(1)y x x +=> 得x =∴1()0)f x x -=>， ∴1(1)1)f x x -+=>-．⑵由2()2(0)y f x x x x ==+>，解得1(1)x y =>-∴(1)y f x =+的反函数为1y =(1)x >-．说明：1(1)y f x -=+并不是(1)y f x =+的反函数，而是1()y f x +=的反函数．题中有1(1)y fx -=+的形式，我们先求出1()y f x -=，才能求出1(1)y f x -=+．21.解析：⑴21()1,1011x y x x y x -=⇒=≥≥⇒≤<+设， 即1()fx -的定义域为[)0,1；⑵设11121201,01,()()0x x f x f x --≤<<∴≤∴-=<，1112()()f x f x --<，即1()f x -在[)1,0上单调递增．22、证法一:且则意一点是这个函数的图象上任设点,1,),(ax y x P ≠''' .11-'-'='x a x y ……①).,(),(x y P x y y x P '''=''的坐标为的对称点关于直线易知点由①式得⎩⎨⎧-'=-''-'=-'',1)1(1)1(y y a x x x a y 即……②由此得a =1，与已知矛盾，.01≠-'∴y a 又由②式得11-'-'='y a y x这说明点P ′（y ′,x ′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形.证法二:先求所给函数的反函数:由),1,(11ax R x ax x y ≠∈--=得 y (ax －1)=x －1， 即 (ay －1)x =y －1．得代入所给函数的解析式则假如,,1,01a y ay ==-111--=ax x a 即 ax －a =ax －1，由此得a=1，与已知矛盾，所以ay －1≠0． 因此得到).1,(,11)1,(11,1,11a x R x ax x y ax R x ax x y ay ay y x ≠∈--=≠∈--=≠--=且的反函数是且这表明函数其中由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f －1(x)的图象关于直线y=x 对称，所以函数)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y =x 成轴对称图形.。