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2222222222 555555555555 8887933 7年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个 悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。 1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了 涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗 素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著 名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某 村理发师的困境。
理发师悖论
古代欧洲某国家有一个小市镇，镇上居民不多，所以理发 师也只有一人。镇上有一条不成文的法则，规定：凡是自 己不给自己理发的人，由理发师去理；同时又规定：理发 师只能去剃自己不给自己理发的人的头。
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(根据高中里将学到的无穷递缩等比数列知识，可以 严格地推证)
这同算术、代数方法求得的结果是一致的。 这个诡辩是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺(Zeno)
提出的。芝诺一共提出四则诡辩，以这一则为最著名。 芝诺诡辩的提出，显示了古希腊人已经接触到“无限” 思想。
谎话悖论
美国逻辑学家雷蒙德·斯穆里安还记得他小时候一次受骗的经历。那 天正是愚人节，哥哥埃米尔对他说：“喂，弟弟，今天是愚人节。 你向来没让人骗不定期，今天我要骗骗你啦！”于是，斯穆里安严 阵以待，可是整整等了一天，哥哥一直不动声色。最后妈妈只好要 求哥哥来骗骗他。兄弟俩在深夜展开了一场有趣的对话：
分析
这当然是不对的。其错误在于：把阿溪里追赶乌龟的路 程任意地分割成无穷多段，而且认为，要走完这无穷多 段路程，就非要无限长的时间不可。其实，即使按照这 种分段方法，走完第一段路程需1小时，走完第二段路 程需1/10小时，走完第三段路程需1/100小时……这 样，追上乌龟的时间恰恰是有限数： (小时)。
芝诺诡辩
设阿溪里(希腊神话中善行走的神)每小时行走10 公里，乌龟每小时爬1公里。现在，阿溪里在乌 龟之后10公里，乌龟往前爬，而阿溪里在后面追。
1小时之后，当阿溪里走了10公里，到达乌龟 原A2来处的。位置A1，此时，乌龟已爬到前面1公里的
乌龟再却过又1爬/1到0小A2时前后面，1/阿1溪0公里里追的到AA32处处。，而此时 时乌再龟过却1/又1爬00到小A时3前后面，1阿/溪10里0公追里到的A3A处4处，。而此 …… 所以，阿溪里永远追不上乌龟!你认为对不对?
选举悖论
从甲、乙、丙三个候选人中要产生一个学生会 主席。民意测验表明：有2／3的学生认为甲比 乙合适，有2／3的学生认为乙比丙合适。这种 情况下，你是否认为甲当选的希望最大呢?
对此，你一定感到很惊奇。这说明“好恶”关 系是不具有传递性的。
选举悖论又称为阿洛悖论。美国经济学家肯 尼思．阿洛(K。Arrow)根据这一悖论及其他依 据证明了一个十全十美的选举方法在原则上是 不存在的。
--- 第三次数学危机
数学史上的第三次危机，是由1897年的突 然冲击而出现的，到现在，从整体来看， 还没有解决到令人满意的程度。这次危机 是由于在康托的一般集合理论的边缘发现 悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众 多的数学分支，并且实际上集合论成了数 学的基础，因此集合论中悖论的发现自然 地引起了对数学的整个基本结构的有效性 的怀疑。
哥哥：这么说，你是盼我骗你喽？ 弟弟：是啊。 哥哥：可我没骗你吧？ 弟弟：没有啊。 哥哥：而你是盼我骗的，对不？ 弟弟：对啊。 哥哥：这不得了，我已经把你给骗了！
弟弟到底有没有受骗呢？一方面，如果他没有受骗，那么他就没有 盼到他所盼的事，因此他就受了骗。哥哥正是这样认为的。不过， 从另一方面看，如果他受了骗，那么他就明明盼到了他所盼的事， 既然如此，又怎么谈得上他受了骗呢？说受骗了其实没受骗，说没 受骗却说明他受骗了，到底他受骗了没有？
这便是逻辑学上的悖论！悖论的奇特之处在于，你沿着一条无懈可 击的推理思路往前走，看似步步春风得意，结果却发现自己已陷入 四面楚歌的矛盾之中
小结
1、承认无穷集合，承认无穷基数，就好 像一切灾难都出来了，这就是第三次数学 危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可 以解决，然而数学的确定性却在一步一步 地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简 直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消 除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所 以，第三次危机表面上解决了，实质上更 深刻地以其它形式延续着。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当时 著名的数学家弗雷格在收到罗素的信之 后，在他刚要出版的《算术的基本法则》 第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到 比这更难堪的事情了，即在工作完成之 时，它的基础垮掉了，当本书等待印出 的时候，罗素先生的一封信把我置于这 种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
悖论的重要作用
它的出现促进了现代数学的一个重要分 支-----数理逻辑的发展，它使得康托的 集合理论建立在更坚实的基础之上，数 学大厦的基础十分坚实而稳固。
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111111111 看看
规定得如此明确，可谓万无一失矣。可是，问题来了， 理发师自己的头由谁来剃呢?
如果他自己不剃头，那么按 照法规，他应该请理发师(也 就是他自己)去剃；如果他自己剃头，那么按照规定，他 又不应该让理发师(即他自己)去剃。
结果是剃也不是，不剃也不是了。
这是有名的逻辑学家罗素(R．A．W.Russll，1872－ 1970)在1918年引述的一个逻辑悖论。毛病出在法规本 身制订得不合理。其实质在于，该法规把小镇上的全体居 民截然分成两类，一类是自己替自己理发的人，一类是自 己不替自己理发的人。结果使理发师本人无法归入哪一类。