(1) 幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域
内解析.
(2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. 对于罗朗级数，已经知道：
罗朗级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆 环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成罗朗级数?
4.4.2 函数的罗朗级数展开
定理4.12(Laurent展开定理) 设 0 R1 R2 , 函数f (z)在圆环域 R1 z z0 R2 内解析, 则函数f (z) 在此圆环域内可展开为罗朗级数
定理4.9 (Taylor展开定理) 设 f ( z )在区域D
内解析, z0 为D内的一点, R为 z0 到D边界的距离 (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在 z z0 R 内可 展开为幂级数

f ( z ) a n ( z z0 ) n
n 0
R
z0
.
1 (n) f ( z0 ) 其中 an n!
解析, 那么根据柯西-古萨定理, an 0 n 1, 2, 所以罗朗级数包含了Taylor级数.
,
罗朗展开式的唯一性 设函数f (z)在圆环域R1<|z-z0|<R2内解析，并且
可以展开成双边幂级数
n


cn ( z z0 ) n
1 则系数为 cn 2 i

C
n 0
4n 0
a z 和 b z 的收敛
n n n
2n z ( 1)n , z . (2n)! 内,


n 0
n
n!
12!
2
n!
并且收敛半径 R . 同理 n
sin z
n 0

(a ( 1) z
n 2 n 1
n n n 2 n 1 a b a b a b z . z3 z 5an z bn z n z 0 n 1 n 1 n 0 z n0 (01) n0 z . n 3! 5! (2n 1)!
z 1 .
例 4.7
将 f (z)

1 1 z2

2
展开为z的幂级数.
解：根据例4.6，
1 n n ( 1) ( n 1) 2 (1 ) n 0

1 ,
2 z , 则 令
1 n 2n ( 1) ( n 1) z (1 z 2 )2 n 0
z 0
ez
z 0
1,
所以它在 z 0 处的泰勒级数为
e
z n 0

f
( n)
(0) n z z n! n 0 n !
zn n! ,

n
z2 1 z 2! 并且收敛半径 R .
2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
D
n 0, 1, 2, .
上述的幂级数称为 f ( z ) 在 z0 的泰勒级数(展开式).
综合定理4.8和定理4.9，得到关于解析函数的 重要性质： 定理4.10 函数 f (z) 在z0处解析的充要条件是 f (z) 在z0的某邻域内有泰勒展开式. 这是解析函数的重要特征.
泰勒展开式的唯一性 设复变函数 f (z) 是 D内的解析函数, z0是 D内的一点，且在 z z0 R 内可展成幂级数
例4.5
利用
iz iz
本例利用直接方法也很简单
1 1 1 n n ( iz ) ( iz ) , 2 n 0 n ! n 0 n !
e e cos z 2
n
以及 例 4.4和 性质4.1 可求得 (1) 设级数
2n 2
( 1) z z zn n 2 cos z 1z z z z en 1 zR 和 )! 2! 4! (2n 半径分别为 0 R , 则在
n
n
令 ( z z0 )
1
n= 1
å
+
a- nz n
n= 1
收敛半径R
n= 0
R时,收敛
收敛半径R2
收敛域 z z0 R2
收敛域 1 z z0 R1 R
若 (1) R1 R2 : 两收敛域无公共部分;
( 2) R1 R2 : 两收敛域有公共部分 R1 z z0 R2 .
(2) 间接方法 根据解析函数罗朗级数展开式的唯一性, 可
运用代数运算、代换、求导和积分等方法将函数
展开成罗朗级数. 这是将函数展开成罗朗级数的常用方法. 给定函数 f ( z ) 与复平面内的一点 z0 以后, 函 数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式. (包括Taylor展开式作为特例) 这与罗朗展开式的唯 一性并不矛盾, 但在同一圆环域内的展开式唯一.
1 (n) an f ( z0 ) n!
2. 间接方法.
n 0,1,2, ,
然后将函数 f (z) 在z0 展开成幂级数.
z f ( z ) e 在 z 0 的泰勒展开式. 例4.4 求
解: 因为 f ( z ) e 在复平面上解析，且
z
f ( n ) (0) (e z )( n )
zn
zn , n 0 n !


( z )
1 (2) 1 z z2 1 z 1 (3) 1 z z2 1 z
z n , ( z 1)
n 0
( 1)n z n
( 1)n z n ,
n 0

z3 z5 (4) sin z z 3! 5!
如果函数f (z)在z0点解析, 则在z0的某邻域内, 可 展开为Taylor级数, 其各项由z-z0的非负幂组成. 如果 f (z)在圆环域 R1 z z0 R2 内解析, 则 f (z)在这
个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数. 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,
即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数 及Z变换理论中起重要作用.

(2 n 1)!
n 0
n
bn )z an z bn z ,
n n n 0 n 0


1 例4.6 求 f ( z ) 在 z 0处的泰勒级数 . 2 (1 z )
解： z1 1 是 f ( z ) 的唯一奇点, 且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1. 在 例4.2中，用-z替换 z, 则
这种双边幂级数的形式为
n


a n ( z z0 ) n .
罗朗级数
负幂项部分
n
正幂项部分
- n
n= -
å
+
an ( z - z0 )
å
+
a- n ( z - z0 )
n= 1
å
+
a n ( z - z0 ) n
n= 0
收敛
同时收敛 主要部分 解析部分
å å
+
+
a- n ( z - z0 )a n ( z - z0 )
(7)(1 z ) 1 z

( 1)
2! n!
z
2
( 1)( 2)
3! z n ,
z3
( 1)( n 1)
( z 1)
§4.4 罗朗级数
1 罗朗级数的概念 2 函数的罗朗级数展开 3 典型例题
4.4.1
罗朗级数的概念
1 2 1 nn n n 1 z z ( 1) z z+ z1 , z =1 z z2 + + 1 z 1 z n 0
z
逐项求导，得
1 2 1 2 z 3 z 2 (1 z )
( 1)n ( n 1) z n
结论: 双边幂级数
n= -
å
+
an ( z - z0 )n的收敛区域为
R2
R1 . z0
圆环域 R1 z z0 R2 .
常见的特殊圆环域:
R2
. z0
R1 . z0
. z0
0 z z0 R2 R1 z z0
0 z z0
对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:
(1) 直接方法 直接计算展开式系数
1 an 2 i

C
f (z) dz ( n 0, 1, 2, ), n 1 ( z z0 )
n= -
然后写出罗朗展开式 f ( z ) =
å
¥
an ( z - z0 ) n .
这种方法只有理论意义, 而没有实用价值. 就是 说, 只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法.
n 1 z 1 ( z 1) n f ( z ) 1 ( 1)n 1 ( 1) . n 1 2 n 0 2 2 n 0 n
附: 常见函数的Taylor展开式
2 z z (1) e 1 z 2!
zn n!
2 n 1 z ( 1)n , (2n 1)! ( z )
( z 1)
z2 z4 (5) cos z 1 2! 4!
2n z ( 1)n (2n)!
,