第20课时 抛物线中的两个动点问题(60分)1．(20分)[2019·凉山州]如图6－4－1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OB ＝8，OC ＝6.(1)求抛物线的表达式；(2)点M 从A 点出发，在线段上AB 以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时，点N 从B 出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN 存在时，求运动多少秒使△MBN 的面积最大，最大面积是多少？(3)在(2)的条件下，△MBN 面积最大时，在BC 上方的抛物线上是否存在点P ，使△BPC 的面积是△MBN 面积的9倍，若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由线段的长度得出点A ，B ，C 的坐标，然后把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，解方程组即可得抛物线的表达式；(2)设运动时间为t s ，则MB ＝10－3t ，然后根据△BHN ∽△BOC ，求得NH ＝35t ，再利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式S △MBN ＝－910⎝ ⎛⎭⎪⎫t －532＋52，利用二次函数的图象性质进行解答； (3)利用待定系数法求得直线BC 的表达式为y ＝－34x ＋6.由二次函数图象上点的坐标特征可设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－38m 2＋94m ＋6.过点P 作PE ∥y 轴，交BC 于点E .结合已知条件和(2)中的结果求得S △PBC ＝452.则根据图形得到S △PBC ＝S △CEP ＋S △BEP ＝12EP ·m ＋12·EP ·(8－m )，把相关线段的长度代入推知：－32m 2＋12m ＝452.易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，758或⎝ ⎛⎭⎪⎫5，638. 图6－4－1解：(1)∵OA ＝2，OB ＝8，OC ＝6，∴A (－2，0)，B (8，0)，C (0，6)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，64a ＋8b ＋c ＝0，c ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，b ＝94，c ＝6， ∴抛物线的表达式为y ＝－38x 2＋94x ＋6；(2)设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t .∴MB ＝10－3t .在Rt △BOC 中，BC ＝82＋62＝10. 如答图①，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，∴HN OC ＝BN BC ，即HN 6＝t 10，∴HN ＝35t .∴S △MBN ＝12MB ·HN＝12(10－3t )·35t ＝－910⎝ ⎛⎭⎪⎫t －532＋52，∴当t ＝53时，S △MBN 最大＝52.答：运动53 s 时，△MBN 的面积最大，最大面积是52；(3)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋c (k ≠0)．把B (8，0)，C (0，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋c ＝0，c ＝6， 解得⎩⎨⎧k ＝－34，c ＝6，∴直线BC 的表达式为y ＝－34x ＋6. 图第1题答图①∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－38m 2＋94m ＋6， 如答图②，过点P 作PE ∥y 轴，交BC 于点E ，则E点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－34m ＋6， ∴EP ＝－38m 2＋94m ＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ＋6＝－38m 2＋3m ， 当△MBN 的面积最大时，S △PBC ＝9S △MBN ＝452，∴S △PBC ＝S △CEP ＋S △BEP ＝12EP ·m ＋12EP ·(8－m )＝12×8·EP ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38m 2＋3m ＝－32m 2＋12m ， 即－32m 2＋12m ＝452，解得m 1＝3，m 2＝5，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，758或⎝ ⎛⎭⎪⎫5，638. 2．(20分)[2019·内江]如图6－4－2，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t的函数关系，并求S 的最大值；(3)在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由点B 的坐标与对称轴可求得点A 的坐标，把点A ，B ，C 的坐标分别代入抛物线的表达式，列出关于系数a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t s ，利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式，第1题答图②图6－4－2用配方法求得最大值；(3)根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论． 解：(1)∵点B 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1，∴A (－2，0)．把点A (－2，0)，B (4，0)，C (0，3)，分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝3. 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，b ＝34，c ＝3，∴该抛物线的表达式为y ＝－38x 2＋34x ＋3.'(2)设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t ，∴MB ＝6－3t .在Rt △BOC 中，BC ＝32＋42＝5.如答图①，过点N 作NH ⊥AB 于点H ， ∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，∴HN OC ＝BN BC ，即HN 3＝t 5，∴HN ＝35t .∴S △MBN ＝12MB ·HN ＝12(6－3t )·35t ＝－910t 2＋95t ＝－910(t －1)2＋910.当△MBN 存在时，0＜t ＜2，∴当t ＝1时，S 最大＝910.∴S 与t 的函数关系为S ＝－910(t －1)2＋910，S 的最大值为910.第2题答图(3)如答图②，在Rt △OBC 中，cos B ＝OB BC ＝45，设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t .∴MB ＝6－3t .当∠MNB ＝90°时，cos B ＝BN BM ＝45，即t 6－3t ＝45，解得t ＝2417. 当∠BM ′N ′＝90°时，cos B ＝6－3t t ＝45，解得t ＝3019.综上所述，当t＝2417或3019时，△MBN为直角三角形．3．(20分)[2019·山西]综合与探究如图6－4－3，抛物线y＝－39x2＋233x＋33与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连结AC，BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连结PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E.连结PD，与BC交于点F.设点P的运动时间为t s(t＞0)．(1)求直线BC的函数表达式；(2)①直接写出P，D两点的坐标(用含t的代数式表示，结果需化简)；②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值．(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由函数与方程的关系得到点B，C的坐标，利用待定系数法求直线BC的表达式；(2)①过点P作x轴的垂线段，构造与Rt△AOC相似的直角三角形，利用相似的性质得到与点P的横、纵坐标有关的线段的方程求解；由QD⊥x轴可知点D与点Q的横坐标相同，将点Q的横坐标代入抛物线表达式便得点D的纵坐标；②由等腰三角形的性质找到P，D两点纵坐标的关系建立方程求解；(3)假设存在点F为PD的中点，由中点的特征结合P，D两点的坐标表示出点F的坐标，将其代入直线BC建立方程求得t的值，确定点F的具体坐标．解：(1)由y＝0，得－39x2＋233x＋33＝0，图6－4－3解得x 1＝－3，x 2＝9，∴点B 的坐标为(9，0)，由x ＝0，得y ＝33，∴点C 的坐标为(0，33)， 设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ， 由B ，C 两点的坐标得⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝0，b ＝33，解得⎩⎨⎧k ＝－33，b ＝33， ∴直线BC 的函数表达式为y ＝－33x ＋33；(2)①P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－3，32t ，D ⎝⎛⎭⎪⎫9－2t ，－439t 2＋833t ； ②如答图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，PH ⊥QD 于点H ，∵QD ⊥x 轴，∴四边形PGQH 是矩形，∴HQ ＝PG ，∵PQ ＝PD ，PH ⊥QD ，∴DQ ＝2HQ ＝2PG ，∵P ，D 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－3，32t ，⎝⎛⎭⎪⎫9－2t ，－439t 2＋833t ， ∴－439t 2＋833t ＝2×32t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝154，∴当PQ ＝PD 时，t 的值为154；(3)t ＝3，F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1134. (20分)4．(20分)[2019·淮安]如图6－4－4①，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－13x 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(4，0)，连结AC ，BC .动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达第3题答图终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t s ．连结PQ .(1)填空：b ＝__13__，c ＝__4__；(2)在点P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M ，使△PQM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ；若不存在，请说明理由；(4)如图②，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，线段PQ 的中点为H ，连结NH ，当点Q 关于直线NH 的对称点Q ′恰好落在线段BC 上时，请直接写出点Q ′的坐标．图6－4－4【解析】 (1)将A (－3，0)，B (4，0)代入y ＝13x 2＋bx ＋c 即可求解；(2)若△APQ 为直角三角形，则∠APQ ＝90°(∠P AQ 与∠PQA 不可能为直角)．连结QC ，则AQ 2－AP 2＝QC 2－PC 2＝PQ 2，据此列出关于t 的方程求解，若t 的值满足0≤t ≤4，则△APQ 可能是直角三角形，否则不可能；(3)①过点P 作DE ∥x 轴，分别过点M ，Q 作MD ⊥DE ，QE ⊥DE ，垂足分别为D ，E ，构成“一线三直角”全等模型，用含t 的式子表示点M 的坐标；②将点M 的坐标代入二次函数的表达式求解；(4)①分别求直线BC ，直线NQ ′的函数表达式；②解直线BC ，NQ ′的函数达式组成的方程组．解：(1)b ＝13，c ＝4；(2)在点P ，Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形．理由如下：如答图①，连结QC .若△APQ 是直角三角形，∵在点P ，Q 运动过程中，∠P AQ ，∠PQA 始终为锐角，∴∠APQ ＝90°.由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝－13x 2＋13x ＋4，当 ＝0时，y ＝4，∴C(0，4)，∴OC＝4.∵A(－3，0)，∴OA＝3.由题意，得AP＝OQ＝t.∴AQ＝OA＋OQ＝3＋t.在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝OA2＋OC2＝32＋42＝5.∴PC＝5－t.在Rt△OCQ中，QC2＝OQ2＋OC2＝t2＋42.∵∠APQ＝90°，∴AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2.∴(3＋t)2－t2＝t2＋42－(5－t)2，解得t＝4.5.由题意知0≤t≤4.∴t＝4.5不符合题意，舍去．∴在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；第4题答图①第4题答图②(3)如答图②，过点P作DE∥x轴，分别过点M，Q作MD⊥DE，QE⊥DE，垂足分别为点D，E，MD交x轴于点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠D＝∠E＝90°.∴△APG∽△ACO.∴PGOC ＝AGOA＝APAC，即PG4＝AG3＝t5.∴PG＝45t，AG＝35t.∴PE＝GQ＝GO＋OQ＝AO－AG＋OQ＝3－35t＋t＝3＋25t，DF＝PG＝45t.∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，∴∠DMP＋∠DPM＝∠EPQ＋∠DPM＝90°.∴∠DMP＝∠EPQ.又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，∴△MDP≌△PEQ.∴PD＝EQ＝45t，MD＝PE＝3＋25t.∴FM＝MD－DF＝3＋25t－45t＝3－25t，OF＝FG＋GO＝PD＋OA－AG＝45t＋3－35t＝3＋15t.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－15t ，－3＋25t . ∵点M 在x 轴下方的抛物线上，∴－3＋25t ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－15t 2＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－15t ＋4， 解得t ＝－65±52052. ∵0≤t ≤4，∴t ＝－65＋52052. (4)Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫67，227. 提示：如答图③，连结OP ，取OP 中点R ，连结RH ，NR ，延长NR 交线段BC 于点Q ′.∵点H 为PQ 的中点，点R 为OP 的中点，∴RH ＝12OQ ＝12t ，RH ∥OQ .∵A (－3，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，∴点N 为OA 的中点． 又∵点R 为OP 的中点，∴NR ＝12AP ＝12t ，RN ∥AC .∴RH ＝NR ，∴∠RNH ＝∠RHN .∵RH ∥OQ ，∴∠RHN ＝∠HNO .∴∠RNH ＝∠HNO ，即NH 是∠QNQ ′的平分线．设直线AC 的函数表达式为y ＝mx ＋n ， 把A (－3，0)，C (0，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－3m ＋n ，4＝n ， 解得⎩⎨⎧m ＝43，n ＝4，∴直线AC 的函数表达式为y ＝43x ＋4.同理可求，直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋4.第4题答图③设直线NR 的函数表达式为y ＝43x ＋s ，把N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0代入，得0＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋s ，解得s ＝2.∴直线NR 的函数表达式为y ＝43x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝43x ＋2，y ＝－x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝67，y ＝227，∴Q ′点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫67，227. (20分)5．(20分)[2019·枣庄]如图6－4－5，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(6，0)，点C 坐标为(0，6)，点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连结BD .(1)求抛物线的表达式及点D 的坐标；(2)点F 是抛物线上的动点，当∠FBA ＝∠BDE 时，求点F 的坐标；(3)若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．图6－4－5 备用图【解析】 (1)由点B ，C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式变形成顶点式即可得出结论；(2)设线段BF 与y 轴交点为点F ′，设点F ′的坐标为(0，m )，由相似三角形的判定及性质可得出点F ′的坐标，根据点B ，F ′的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的表达式，联立直线BF 和抛物线的表达式成方程组，解方程组即可求出点F 的坐标；(3)设对角线MN ，PQ 交于点O ′.根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P ，Q 的位置，设出点Q 的坐标为(2，2n )，由正方形的性质可得出点M的坐标为(2－n ，n )．由点M 在抛物线图象上，即可得出关于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论．解：(1)将点B (6，0)，C (0，6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－18＋6b ＋c ，6＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝6，∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6.∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8，∴点D 的坐标为(2，8)．(2)设线段BF 与y 轴交点为点F ′，设点F ′的坐标为(0，m )，如答图①所示． ∵∠F ′BO ＝∠FBA ＝∠BDE ，∠F ′OB ＝∠BED ＝90°，∴△F ′BO ∽△BDE ，∴OF ′OB ＝BE DE .∵B (6，0)，D (2，8)，∴E (2，0)，BE ＝6－2＝4，DE ＝8－0＝8，OB ＝6，∴OF ′＝BE DE ·OB ＝3，∴F ′(0，3)或(0，－3)．设直线BF 的表达式为y ＝kx ±3，则有0＝6k ＋3或0＝6k －3，解得k ＝－12或k ＝12， ∴直线BF 的表达式为y ＝－12x ＋3或y ＝12x －3.联立直线BF 与抛物线的表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋3，y ＝－12x 2＋2x ＋6，或⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋3，y ＝－12x 2＋2x ＋6， 第5题答图①解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝72， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0，(舍去)，⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝92， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0，(舍去)，∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92.(3)设对角线MN ，PQ 交于点O ′，如答图②所示．∵点M ，N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形， ∴点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线对称轴上， 设点Q 的坐标为(2，2n )，则点M 的坐标为(2－n ，n )． ∵点M 在抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象上，∴n ＝－12(2－n )2＋2(2－n )＋6，即n 2＋2n －16＝0，解得n 1＝17－1，n 2＝－17－1.∴点Q 的坐标为(2，217－2)或(2，－217－2)．第5题答图②。