挠曲线方程: w f (x)
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该点的挠度。
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
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2 挠曲线的近似微分方程
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1M
EI
横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移
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ENGINEERING MECHANICS 梁弯曲时的变形和刚度计算
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一、工程中的弯曲变形问题
弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条件。如车床主 轴的过大弯曲引起加工零件的误差。
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取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的
铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
y
A
挠度符号？
C
B
x
C1 w
B'
挠度
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴
方向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。
3 2
M (x) EI
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w (1 w2 )32
M (x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计,
于是上式可写成 w M (x) EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。
(Approximately differential equation of the deflection curve)
称为近似的原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略去了w'2项。
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3、积分法求弯曲变形
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成
EIw M (x)
上式积分一次得转角方程
EIw M (x)dx C1
再积分一次, 得挠度方程
在这种情况下, 梁在几项载荷 (如集中力、集中力偶或分布力)同时作 用下某一横截面的挠度和转角, 就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠 度和转角的叠加。此即为叠加原理。
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5、梁的刚度计算
梁的刚度条件：
wmax w
max
其中[ ]称为许用转角；[w ]称为许用挠度。
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必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向也有线位移。
但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长, 横截面形心
沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量, 可略去不计。
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挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。
EIw M (x)dx dx C1x C2
式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的
连续性条件来确定。
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4 、按叠加原理计算梁的挠度和转角
条件：由于梁的变形微小, 梁变形后其跨长的改变可略去不计, 且梁的材料 在线弹性范围内工作, 因而, 梁的挠度和转角均与作用在梁上的荷载成线性 关系。
的影响, 则
1 M (x)
(x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
w
M (x)
( x)
(1
w2
3
)2
EI
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曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0 曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0 因此, M与w’’的正此条件进行如下三种刚度计算：
、校核刚度： wmax w
、设计截面尺寸；
、设计载荷。
max
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y A
转角符号？
转角
C
B
x
C1
B'
转角(): 横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或角 位移）, 称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。
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挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。 转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。