课程名称：分形几何在实际生活中的应用英文名称：Fractal Geometry and itsApplications课题组成员名单：李蕴白（组长）、俞梦倩、杨婷怡、成祖泓、楼琪伟、杨德峻选用教材或参考书：教材：《分形几何---数学基础与应用》参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press※课题背景人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的《九章算术》，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著《几何原本》，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。

但是也有一些新问题是在二十世纪中后期才被发现的，分形几何就是其中最具有代表性的。

分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。

它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。

它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。

但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现——原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩，分形几何这一新兴的数学领域触及到我们生活中许多学科方面的知识，比如天文学、地理学、经济学、气象学、生物学、电影摄像学，以及另外的一些自然科学等等。

也许有人说，分形几何和代数、方程一样，在一般的实际生活中几乎没有应用和实例。

其实不然。

在生活、学习、工业、农业、饮食、文化、娱乐、气象、交通等等各个领域中都有着许许多多的应用与实例，只要做个有心人，仔细观察身边的事物就能找到它们了。

由此我们可以看出分形几何的应用十分广泛。

但是，它的应用究竟有多广泛呢？因此我们将围绕“分形几何在生活中的应用的广泛程度”为课题作进一步的探究。

研究目的：对分形几何的知识有初步的了解，在生活中找实例来研究分形几何的实用性，一边去拓宽思维及更好的应用。

研究方法：研究方法是理论与实际相结合，大约能分成六个阶段。

第一阶段：认真查阅老师所发的资料，并上网查询分形几何的基础知识，要对分形几何有一个初步了解第二阶段：继续上网查找网络上对分形几何应用情况的数据资料，仔细阅读以便对下步研究活动作铺垫。

第三阶段：拟定一份调查问卷，在各自班中做调查问卷，统计数据。

问卷中包括他们对分形几何的了解程度，以及他们认为分形几何在现实生活中所应用的实力。

第四阶段：对一致的一些可能是分形几何的实例进行调查，并用数码照相机拍摄一些关于实例方面的照片。

第五阶段：小组讨论，对拍回的照片和实例作进一步分析，讨论这些实例是不是分形几何的应用。

第六阶段：结合各种资料图片，做出最后的研究报告。

姓名：李蕴白昵称：小白出生年月：８８．１１．２１星座：天蝎海拔（c m）：１６２爱好：吃喝玩乐睡、电视唱歌聊天……最喜欢的明星：最爱吃的东东：钵崽糕个性签名：个人说明：姓名：俞梦倩昵称：ＦＩＳＨ出生年月：８９.１.２７星座：水瓶海拔（cm）：１５９爱好：睡觉最喜欢的明星：王力宏最爱吃的东东：巧克力个性签名：个人说明：姓名：杨婷怡昵称：ＫＩＴＥＲ出生年月：８８.１２.２１星座：射手海拔（cm）：１６５爱好：运动最喜欢的明星：最爱吃的东东：烧烤个性签名：个人说明：姓名：成祖泓昵称：出生年月：８９.７.２２星座：巨蟹海拔（c m）：１７０爱好：Ｆ１、Football最喜欢的明星：Rooney、吉祥兄弟、Albers最爱吃的东东：荤菜个性签名：There is only one united in the world个人说明：马丁内斯的身高+王珂的体型+C.罗的冲劲+陈佩斯的搞笑力+Albers的韧劲=我姓名：楼琪伟昵称：出生年月：８９.４.２３星座：金牛海拔（c m）：１６８爱好：幻想最喜欢的明星：最爱吃的东东：牛肉个性签名：个人说明：姓名：梁德峻昵称：无德出生年月：８９.１.２３星座：水瓶海拔（c m）：１7４爱好：妄想最喜欢的明星：最爱吃的东东：随便个性签名：个人说明：※分形几何内容简介分形几何学是由法国数学家B.B.Mandelbrot在20世纪70 年代创立的。

“分形（fractal）”一词，也是由他提出，它来源于拉丁语“fractus”，含有“不规则”或“破碎”之意。

与描述规则形状的欧几里德几何不同，分形几何研究一类非规则的几何对象，并为研究这些对象提供了思想、方法、技巧等。

作为应用，它可以构造从植物到星系的物理结构的精确模型，而这是传统几何无法做到的。

可以说，分形几何是一种“新”的几何语言。

♀※什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。

什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。

这些例子在我们的身边到处可见。

分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。

"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。

Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。

Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。

如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。

将两个矩形框区域放大后的图形。

当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。

这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。

微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。

所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。

用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为"分形艺术"。

"分形艺术"以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。

这里值得一提的是对称特征，分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。

同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。

这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。

这一点与上面所讲的例子："一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息"，完全吻合。

不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看，她都是那么富有哲理，她是科学上的美和美学上的美的有机结合。

我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。

基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。

分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。

分形几何：复平面中的神奇迭代（专业知识）Mandelbrot集合是Mandelbrot在复平面中对简单的式子Z <- Z^2 + C 进行迭代产生的图形。

虽然式子和迭代运算都很简单，但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以置信以至于不可思议。

在传统几何学中难以找到如此简单的规律隐藏着如此复杂而生动的例子。

Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。

例如，大型团体操中每个人穿的衣服只有几种颜色中的一种，每个人的动作也只是导演规定的几种之一。

但是整体上可以显示出多种多样的复杂形态。

Julia 集合在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表虚数。

每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常数C，它是一个复数。

现在您在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。

将其代入下面方程中进行反复迭代运算：就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。

再把新的Z作为旧的Z，重复运算。

当你不停地做，你将最后得到的Z值有3种可能性：1、Z值没有界限增加（趋向无穷）2、Z值衰减（趋向于零）3、Z值是变化的，即非1或非2趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。

非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。

问题是我们怎样才能让计算机知道哪一个点是定常吸引子还是"Julia集合"。

一般按下述算法近似计算：n=0;while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax)){Z=Z*Z+C;}其中：Nmax为最大迭代次数Rmax为逃离界限退出while循环有两种情况，第一种情况是：(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax属于这种情况的点相当于"1、Z值没有界限增加（趋向无穷）"，为定常吸引子,我们把这些区域着成白色。

第二种情况是：n >= Nmax属于这种情况的点相当于"2、Z 值衰减（趋向于零）"或"3、Z 值是变化的"，我们把这些区域着成黑色。

黑色区域图形的边界处即为"Julia集合"。

"Julia 集合"有着极其复杂的形态和精细的结构。

黑白两色的图形艺术感染力不强。

要想得到彩色图形，最简单的方法是用迭代返回值n来着颜色。

要想获得较好的艺术效果，一般对n做如下处理：Red = n*Ar+Br;Grn = n*Ag+Bg;Blu = n*Ab+Bb;if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn =Grn ^ 0xFF;if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu =Blu ^ 0xFF;其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb为修正量获得的Red、Grn、Blu为RGB三基色，着色效果为周期变化，具有较强的艺术感染力，而且等位线也蕴藏在周期变化的色彩之中。