【模拟试题】一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 2. 下列四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。

正确的命题有________个A. 1B. 2C. 3D. 43. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ）A. 12B. 24C. 214D. 4144. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（ ）A. 8cmB. 12cmC. 13cmD. 82cm5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）A. 122+ππB. 144+ππC.12+ππD. 142+ππ6. 已知直线l m ⊥⊂平面，直线平面αβ，有下面四个命题：①αβ//⇒⊥l m ；②αβ⊥⇒l m //；③l m //⇒⊥αβ；④l m ⊥⇒αβ//。

其中正确的两个命题是（ ）A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A. 63cmB. 6cmC. 2182D. 31238. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）A. 63πcmB. 3233πcm C. 833πcm D. 433πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（ ）A. m n m n ⊥，，////αβB. m n m n ⊥=⊂，，αβαC. m n n m //，，⊥⊂βαD. m n m n //，，⊥⊥αβ10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足：l l m m =⊂⊥βγααγ ，，，//，那么必有（ ）A. αγ⊥⊥和l mB. αγβ////，和mC. m l m//β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）A. 13： B. 12： C. 2：3D. 1：312. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）二. 填空题（每小题4分，共16分）13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。

14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。

15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。

16. 已知αβ、是两个不同的平面，m 、n 是平面αβ及之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②αβ⊥，③n ⊥β，④m ⊥α。

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。

三. 解答题（共74分）17. （12分）正方体ABCD A B C D -1111中，E 、F 、G 分别是棱DA 、DC 、DD 1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG 平行的平面，并证明之。

18. （12分）球内有相距1cm 的两个平行截面，截面的面积分别是5822ππcm cm 和，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。

19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。

20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（52+）π，求这个旋转体的体积。

21. （12分）有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB=60°，OA=72cm ，要剪下来一个扇形ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。

（如图）试求 （1）AD 应取多长？（2）容器的容积。

22. （14分）如图，正四棱柱ABCD A B C D -1111中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EF BD G =。

（1）求证：平面B EF BDD B 11⊥平面； （2）求点D 1到平面B EF 1的距离d ；（3）求三棱锥B EFD 11-的体积V 。

【试题答案】一. 1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. D9. C10. A11. D12. B二.13. π22a 14. 2cm 15. 3ab16. m n m n m n m n ⊥⊥⊥⇒⊥⊥⊥⊥⇒⊥，，（或，，）αβαβαβαβ三.17. 证明：过A C D 、、1的平面与平面EFG 平行，由E 、F 、G 是棱DA 、DC 、DD 1的中点可得GE//AD 1，GF//CD 1，GE ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ∴AD 1//平面AEG ，CD 1//平面EFG 又AD CD D 111=∴平面EFG//平面ACD 118. 解：如图，设两平行截面半径分别为r r r r 1221和，且>依题意，ππππr r 122258==，∴===-=-=-=-r r OA OA R OO R r R OO R r R 12221212122222225858，和都是球的半径∴---==∴=∴====R R R R S R cm V R cm 2222223581934364336解得球球ππππ()() 19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm设底面边长为a ，则32234a a =∴=∴正三棱柱的表面积S S S mm =+=⨯⨯+⨯⨯⨯=+侧底234221242324832() 20. 解：如图，梯形ABCD ，AB//CD ，∠A=90°，∠B=45°，绕AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。

设CD x AB x ==，32AD AB CD x BC x =-==222，S S S S 全面积圆柱底圆柱侧圆锥侧=++ =⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅=+πππππππAD AD CD AD BC x x x x xx2222422222524根据题设5245222+⋅=+=ππx x ()，则 所以旋转体体积V AD CD AD AB CD =⋅⋅+⋅-ππ223()=⋅⋅+⋅⋅-=πππ1231327322()21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R 、AD=x ，则OD x=-72由题意得AB R CD r x OD x R⌒⌒==⋅⋅==⋅⋅-=-=⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪2601807226018072723ππππ() ∴===R r x 12636，， ∴=AD cm36 （2）又圆台的高h=x R r 222236126635--=--=()()∴=++V h R Rr r 1322π()=⋅⋅+⨯+=1363512126650435223ππ()()cm 22. 证明：（1）如图，连结AC∵正四棱柱ABCD A B C D -1111的底面呈正方形∴AC ⊥BD 又AC ⊥D D 1 ∴AC ⊥平面BDD B 11∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点∴EF//AC ∴EF ⊥平面BDD B 1 ∴平面B EF BDD B 111⊥平面 解（2）在对角面BDD B 11中，作D H B G 11⊥，垂足为H ∵平面B EF BDD B 111⊥平面，且平面B EF 1 平面BDD B B G 111= ∴D H B EF H 11⊥平面，且垂足为 ∴D H 1为点D 1到平面B EF 1的距离在Rt △D HB 11中，D H D B D B H1111=⋅∠sin D B A B D B H B GB B B GB D H 111111*********4174417161717==⋅=∠=∠==∴=⋅=sin sin（2）V V V D H S B EFD D B EF B EF ===⋅⋅--11111131∆=⋅⋅⋅⋅=13161712217163。