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当０ — ｏ ５ ， 【 一 ｌ ＜ ｌ 时 蒋厂 ）Ａ＜ ＜ （
我们可 以对照 ｌ 世纪哥西 的极限的语 言 ９ 表述， 可以发现数学表 达式和语言表述具 有共 同的 内涵。但语 言所叙 述的文 字不 能参与数 学 运算 。因此数 学符号 对极 限这 一 有深刻 内 涵的思 想 的概括 表达 ， 质 的飞 跃 有 ０＜ 一 ｌ ， 符号为极限的符 号 ， 肋＜ ｌ ； ｍ 它只具有 极 限是高等数学 的最主要 的思维方式 ， 是 数学含义而没有数学运算的能力， ， 和三 与＝－ １ ｆ 高等数学 的发展基础 ， 因此对 极限的掌握是不 角函数 ｓ ａｃｓ 中的 ｓ 一样 不具有数学 运算 ｉ ，ｏａ ｎ ｉ ｎ 可忽 视的 ， 对于 高等数 学初学 者来说 ， 但 这一 能力 。 它们只 能 和 与其 一类 的符 号 函数 进 行 基础 的思维 理论太过 抽象 。 因此 ， 将用 几道极 形 式 的变 换 。因此 。 学者 对 于极 限 的茫然 初 限 的证 明题 来帮 助 学生 们加 以把 握 。 看下 在 于 不 懂 得 对 数 学 符 号 进 行 翻 译 ，因 此 在 面 的例题 之 前 ， 有必 要将 上 述极 限 的定 义记 ｌ （ Ａ 译为 能够运 算的数 学表达 式只 能 ｉ ＝ 翻 ｍ， 住， 为理 解提供基础 。 为ｌ曲一 Ｉ ， Ａ＜ （ 。而 Ｉ 的下标 即为极 限存在 的 ｉ ｍ ２ ２ 极限证 明例题 ．
就 叫 做 函 数 时 的 极 限 ， 作 ｎ－ 。 记 ］ 厂 ｉ （ 或 ｌ
ｌｍ ｘ＝ ｏ ｉ
由
ｂ ＜ｌ ２一 ＇ １ Ｉ￣ ２ ａ －
２
。
当
证 明过程 分析 ： 设任 意 ＞ ＞０ ｘ Ｘ 的 Ｏ ，在
厂 －， （ （） ９ ： Ａ
嘞
Ｉ １厂 ：Ａ＝ ＞０３ ａ ｒ ．（） 》 ， ＞０ ，
临域 范围内 ， 使 函数／ ＝ 在上述 条件 下 要 ）ｃ 的极 限为 。需 要计 算 ） 与 的 差值 的大 ） 定义可以简单地表述为： 小， 再与任意 给定大干 ０ 的 进行比较 。若可 以在 ｘ 在 的 临域 范 围内使 得ｌ（ Ａｃ 成 厂 一 ｌｇ
２：詈成 ， ～ 鲁时立
０ 一 ｏ ６ ＜ ｌ ＜
为使ｌ 一 ｝ 一 ｔ 成立 ， 卜 ｌ ＃ Ｏ）
当 时 ， 成立 。 即 上式成立 。
‘ ． ．
上式为ｏ ２ ＜ ＝ｏ ２ ｘ 一） ｉ Ｘ ｓ＝ ＜ 一 ＜ － ＞ １
．
．
解不等式 得 ：
。＜
ｃ ：
． ． ．
ｘ 足 式 ＜ 一 ｏ 时； 应的函 满 不等 ｏ ｆ ＜ 对 数 值 ） 都满足不等式 ～４ ， （ ｌ 那么常数Ａ ）
（）当 １
１ ＞０
２Ｉ ，＞ ， ＋ － ２ 由局部保号原理Ｘ Ｎｘ 一
的 临域范围内使得 ） ｌ 一 ｃ 成立， ｘ ）
的极 限为Ｃ 若在ｘ ， 在ｘ的 临域范 围内无法使
上式为 ： Ｏ
二
ｘ －
Ｉ
＝Ｏ ｘ ’ －２＜ ｘ ） （ －１
得差值小于 则产 生矛盾 ， 及ｍ１ 。 ０ 不成
条件 ， 及￥
其中
时 ， （ － Ｉｓ ｆ） Ｉｘ Ａ＜ 。
两层含义 ， 及 和 。
ｏ ～ ｌ 时 确 为使 ‘ ＝ － ＝ ｓ ∽一 ｆｋ ４ ｏ 成立
’ ・
下面 再举 例子 来帮 助理 解这 两层 含义 。 例３ 用ｓ一 语言 证 明 五 一 １
。
极限思想的萌芽 产生于古 代 ， 是直接建立
立 。
解不 等式 得 ： ！
由 ＜ 一Ｉ ＝ ２ ＜ ２ ｏ 卜 ２＜ ，＜ ＋
２
・ ．
－
其 中 ｇ为极 限接近 程度 的标 准 量 。 请 同学们再看 一下例２ 后我将对 极限进行
总结概述 。 例 ２证 明… 舢 ｌ ｉ ｍｘ 证： 设 Ｆ＞０
ａ
Ｆ
： ＋２ 时上式 成立 ，
１
：
卜
１
一
ｌ —
ｌ ～
（） ２ 时 ， ２ 当ｘ 一 由局 部保号 原理 ｘ １ ０ 一＞
・
２ 极限的数学表达及其意义
２ １ 自变量趋 于有限值 时函数的极 限 ． 定义 ： 函数Ａｘ在点 的某 一去心 邻域 设 ） 内有定义 ， 如果存 在常数 Ａ， 于任意 给定 的 对 正数 （ 它多么小）总存 在正数 ， 不论 ， 使得 当
一
。
证 明过 程分析 ： 设任意 ８＞ ， 在 的 临 ０ｘ 域 范 围内 ， 使函数 ）ｃ 要 ＝ 在上述 条件下的极 限为 Ｃ 。需要计 算ｙ ） Ｃ ｆ 与 的差值 的大小 ， 与 ｘ 再 任 意给定大 于０ 的 进行 比较 。 若可以在 Ｘ 在
ｉ一 斗ｌ 立 ｆ （ Ｉ 鲁 成 。 ｘ＝ ）
在对 无限可分性认识的基础 上的 ， 如众所周知
．
‘ Ｖｓ＞ ０
．
’
上式成立 。
１ｎ ｃ＝ ｃ ｉ ｌ
￣－ ｘ ［ ｉ０ －＊
证：８ ｏ ｏ 卜 ２ 耐 ， ｖ ＞ 设当 ＜ 一 ｌ ＜
．
的 我 国魏 晋 时 期 的刘 徽 的 “ 圆 术 ” 割 。 极限 概念 则形 成 于 ｌ 、 ８ 纪 ： ７ｌ 世 １ 世纪的达 朗贝尔的极限概念 ， ８ 体现 了通 过 有限 量之 间 的关 系来 认识 无 限 、 握 无限 把 的正 确途 径 ， 达朗 贝尔是 这样表述 的 “ 称一 ： 个量是 另一个 量的极限 ， 如果第 二个量能够 比 任 意给 定的 、 论怎 样 小的 量都 更加 接 近第 无 个量的话 ， 同时 这个近似着的量 永远也不能 够 超越 它去 近 似 的 那 个量 。 ” ｌ 世纪 ， ９ 哥西在前人 的基础上 才把 极限概 念说得 更加 明确 ： 当一个量 相继地 所取 的数 “ 值趋近于某个确 定的值 ， 以至它们 的差比任意 给定的量还要小 的时 候 ， 那个确定 的值就 叫做 该变量的极限 。 ”
ｉｌ；． ｉ ８ 再 。。ｅ Ｉｌ ２ ８ Ｈ 百 ａ ｄ
理 论 前 沿
如何理 解极限的定义 ①
杨传翔 （ 石家庄经 济学院 石家庄 ００３） ５ ０ １ 摘 要： 极限 是 高等数 学 的基 础 ，因此对 于极限 思想 的把握 较 为重要 ，但由 于初等数 学和 高等数 学的跨度 大 ，学生对板 限的定 义难 以理解和掌握 ，导致对 高等数 学的其 它问题 感到 困惑和 茫然 ，因此本文从极限 的定艾人手 ，来讲 解极限的含 义，以期能够理解极限的 内涵 。 关键 词： 极限 极 限思想 语言 中图分类 号 ： １ Ｏ ３ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ３ ９ ９ （ ０ ０ ０ （） ０ ０ — ２ １ ７ － ７ ５ ２ １ ）１ ｂ一 １ ２ ０
１极 限概念的历史
人类 历史上 极限概 念从 萌芽 、 产生 、 发展 直 到完善 ， 历了漫长 的年代 。 经 实践推 动着微 积分理论 的产 生和发展 ， 而极 限概念是为 了阐 明微积分 理论而产生 的。
例 １ 证 明 ｃ ｃ ： 此处 ｃ 常数 。 为 证： 设 ＞ ０，