k=0，1，…，7
（4）x(n)的16点DFT（N＝16）
3
X3(k)
Wkn 16
n0
k=0，1，…，15
例3.2.1 的图形显示
DFT实现了频域 离散化。
DFT与N有关，N 越大（对原序列 尾部补零） ，对 X(ejw)采样的点 数越多，越接近 原连续信号的谱。
N＝4 N＝8 N＝16
3.2.6 DFT的隐含周期性（和DFS的关系）
3.2.1 序列与周期延拓序列
任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可以看作长度为N的有限长
序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 x ( n )的一个周期.
~x(n)
x(nmN)
m
x(n) 0nN1
x(n) 0
其 它 n
x(n )~ x(n )R N (n )
运算符((n))N
1、表示序列以N为周期延拓
和 X ( k ) ，而 x ( n ) 刚好为一个有限长序列，从而得到其 离散的频域 X ( k ) 。
时域离散、频域离散
x(n)x((n))N X(k)X((k))N x(n )~ x(n )R N (n ) X(k)X(k)R N(k)
3.2.4 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶正变换(DFT)定义 x(n)长度为M
x(n)x(nmN)x((n))N m
2、表示n对N求余数
如果 n = n1 + MN ，0≤n1≤N-1，M为整数 则 ((n))N = n1 例如，N=8， ~ x(n)x(n ()8 )，则有
~ x(9 )x(9 ( )8)x(1 ) x(1)x((1))8x(7)
3.2.2 主值区间，主值序列
设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的
e-j2(ej2 e-j2) e-j/2(ej/2 e-j/2)
e-j3/
2
sin(2) sin(/ 2)
（2）x(n)的4点DFT（N＝4）
3
3
X1(k) x(n)W 4kn W 4kn
n0
n0
j3k
e 4
ssiinnkk04,,
4
（3）x(n)的8点DFT（N＝8）
k0 k1,2,3
3
X2(k) W8kn n0
离散傅里叶变换的导出
由于数字计算机只能计算有限长离散的序 列，因此有限长序列在数字信号处理中就 显得很重要。
任一有限长序列频域连续，使得无法利用 计算机直接进行频域数字计算，因此频域 需要离散化。
DFT
3.2 离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换的定义 DFT和z变换、DTFT的关系 DFT的隐含周期性(和DFS的关系）
注意：如果N1和N2不相等，则以N为DFT变换长度时， 其中相对较短的序列就通过补零增加到长度为N。
3.3.2 循环移位性质
序列的循环移位
设x(n)长度为N，则x(n)
的循环移位定义：
y(n)x((nm))NRN(n) xm(n)
特点：从左移出， 从右移入
见书P80 循环 移位
取主值
时域循环移位定理
3.3 离散傅里叶变换的基本性质
线性性质 循环移位性质 循环卷积定理 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性
3.3.1 线性性质
设x1(n)和x2(n) 长度分别为N1和N2，且
y(n )a1(x n ) b2(x n )
取N = max[N1，N2]，则y(n)的N点DFT为
Y ( k ) D [y ( F n ) ] a T 1 ( k X ) b2 ( k X ) 0≤k≤ N－1
主值区间：
通常把 x ( n ) 的第一个周期n=0到N-1定义为“主值区间”
主值序列： 把x(n)称为 x ( n ) 的“主值序列”
x(n)x((n))N x(n )~ x(n )R N (n )
3.2.3 DFT的导出
对 x ( n ) 和 X~(k) 分别取一个周期，刚好对应 x ( n )
第三章 离散傅立叶变换
本章目录
引言 离散傅里叶变换（DFT）的定义 离散傅里叶变换的基本性质 频率域采样 离散傅里叶变换（DFT)的应用 Matlab实现
3.1 引言
各种形式的傅里叶变换 CTFT: 时域连续，频域连续 CFS: 时域连续，频域离散 DTFT: 时域离散，频域连续 DFS: 时域离散，频域离散
N1
X(z)Z[x(n)] x(n)zn
0≤k≤ N-1
n0
X (k ) D F T [x (n )] N 1 x (n )W N k n N 1 x (n )e j2 N k n
n 0
n 0
N1
X(ejw)F[x(n)] x(n)ejwn n0
三种变换的关系 比较三式可得
X(k)X(z)zWN kej2k/N 0≤k≤ N-1
N1
X(k)D FT[x(n)]N x(n)W N kn 0≤k≤N -1 n0
离散傅里叶反变换(IDFT)定义
条件：N≥M
x(n)ID[X F (k)T ]N 1N k 0 1X(k)W N kn 0≤n≤N -1
3.2.5 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变 换分别为
DFS:
N1
X(k) x(n)WNWNkn
DFT:
N1
X(k) x(n)WNkn
n0
x(n)N 1N k01X(k)WNkn
DFT变换对，虽然在形式上是N点序列的时频变换，但 它蕴含着首先把N点的信号作周期延拓然后进行DFS， 最后从DFS中各取主值。
X(k)X(ejw )w2k/N 0≤k≤ N-1
DFT和Z变换的关系
X(k)X(z)zWN kej2k/N 0≤k≤ N-1
序列x(n)的N点DFT 相当于是在x(n)的 z变换的单位圆上 进行N点等间隔取
样，同时第一个取
样点取在z= 1处。
N＝8
单位圆上的8个等间隔取样点示意图
DFT和DTFT的关系
X(k)X(ejw )w2k/N 0≤k≤ N-1
物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω) 在区间[0，2π]上的N点等间隔取样。
例3.2.1
设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的傅里叶变 换(DTFT)，以及4点、8点、16点DFT。
解：（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej)n R 4(n)e-jnn 30e-jn1 1 e e --jj4