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德拜模型
德拜模型认为：
热容的量子理论
晶体对热容的贡献主要是弹性波的振动，即 较长的声频支在低温下的振动 由于声频支的波长远大于晶格常数，故可将 晶体当成是连续介质，声频支也是连续的， 频率具有0～ωmax 高于ωmax的频率在光频支范围，对热容贡献 很小，可忽略
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德拜模型
热容的量子理论
当温度较高时，T >> θD，Cv = 3Nk 当温度稳低时，T << θD，有：
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爱因斯坦模型
当 T >> θE 时
热容的量子理论
故有
当T << θE时，有
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爱因斯坦模型的缺陷
爱因斯坦模型中：

热容的量子理论
1 ）低温时， Cv 与温度按指数律随温度 而变化，与实验得出的按 T 的立方变化 规律仍有偏差。
2 ）问题主要在于基本假设：各个振子 频率相同有问题，各振子的频率可以不 同，原子振动间有耦合作用 。
＝元素 i 的摩尔热容。
经典热容理论的解释
按经典理论，能量按自由度均分。 每个原子三个振动自由度； 每个振动自由度的平均动能、平均位能均为



则一个原子的总能量为3kT。
1 kT ，即一个振动自由度能量为kT。 2
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1mol 固体中有
个原子，总能量为
= 6.023×1023 / mol ＝阿佛加德罗常数， = R/N = 1.381×10-23 J/K ＝ 玻尔茨曼常数， = 8.314 J/ (k· mol)，T＝热力学温度（K）。
这就是按照量子理论求得的热容表达式。但要计算CV 必须知道谐振子的频谱——非常困难（very difficult）。
晶态固体热容的量子理论模型
爱因斯坦模型 德拜的比热模型
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爱因斯坦模型
该模型假定：
热容的量子理论
每个振子都是独立的振子，原子之间彼此无 关，每个振子振动的角频率相同。故有：
称为爱因斯坦比热函数

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基本概念
晶格热振动：
晶体点阵中的质点（原子、离子） 总是围着衡位置作微小振动，称为晶 格热振动。 格波：晶体内相邻质点间的热振动存 在着一定的位相差，使晶格热振动以 弹性波的形式在整个材料内传播，称 之为晶格波，简称为格波。该弹性波 是多频率振动的组合波。
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声子：按量子理论的观点，晶格振动的 能量是量子化的。 电磁波的能量量子：光子 格波的能量量子： 声子

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光频支振动：格波中频率甚高的振动波， 质点彼此之间的位相差很大，邻近质点 的运动几乎相反时，频率往往在红外光 区，称为“光频支振动”。
特点： 1）频率较高，类似光波频率。 2）可认为相邻原子振动方向相反。

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第一节 材料的热容
一、基本概念
热容：是物体温度升高1K所需要增加的能量。
（J/K）
主要应用
在制造和使用过程中进行热处理时，热容和热 导率决定了陶瓷体中温度变化的速率，这些性 能是决定抗热应力的基础，同时也决定操作温 度和温度梯度。 对于用作隔热体的材料来说，低的热导率是必 需的性能。 陶瓷体或组织中的不同组分由于温度变化而产 生不均匀膨胀，能够引起相当大的应力。 在陶瓷配方的发展中，在研制合适的涂层、釉 和搪瓷以及将陶瓷和其他材料结合使用时所发 生的许多最常见的困难是起因于温度所引起的 尺寸变化。
按热容定义：
由上式可知，热容是与温度T无关的常数 （constant），这就是杜隆一珀替定律。
对于双原子的固体化合物，1mol中的原子数为2N，故 摩尔热容为 对于三原子的固态化合物的摩尔热容 ：
其余依此类推。
杜隆—珀替定律在高温时与实验结果很吻合。 但在低温时，CV 的实验值并不是一个恒量， 下面将要作详细讨论。
表3.1 部分轻元素的原子热容:
元素 CP H 9.6 B 11.3 C 7.5 O 16.7 F 20.9 Si 15.9 P 22.5 S 22.5 Cl 20.4
2、柯普定律：（化合物的热容定律）
化合物分子热容等于构成该化合物各元素原子热容
之和。 即：C=Σnici。其中，ni＝化合物中元素i的原子数；ci
经典热容定律的局限
1）不能说明高温下，不同温度下热容的微小差别。 2）不能说明低温下，热容随温度的降低而减小， 在接近绝对零度时，热容按T的三次方趋近与零的 试验结果。
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室温下一些固体的摩尔热容
实验表明：固体的热容量随 温度的降低而减小，当温度T 趋于零时，各种固体的热容 量也都趋于零。
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三、晶态固体热容的量子理论（quantum theory）
显然，质量不同热容不同，温度不同热容也不同。
各种热容
比热容单位 — ,
摩尔热容单位—
平均热容 恒压热容 恒容热容 ，
。
范围愈大，精度愈差。
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对于固体材料CP与CV差异很小，见图3.2。
二、晶态固体热容的经验定律（experience law）
1、杜隆一珀替定律：（元素的热容定律） 恒压下元素的原子热容为
第四章
材料的热学性能
第一节 材料的热容 第二节 材料的热膨胀
第三节 材料的热传导
第四节 材料的热稳定性
热学性能主要包括：
热容（thermal content） 热膨胀（thermal expansion）
热传导（heat conductivity）
热稳定性（thermal stability）等 本章目的就是探讨热性能与材料宏观、微观本质关 系，为研究新材料、探索新工艺打下理论基础。

晶格热振动的本质：热激发声子。
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声频支振动与光频支振动
格波是多频率振动的组合波。 声频支振动：如果振动着的质点中包含 频率甚低的格波，质点彼此之间的位相 差不大，则格波类似于弹性体中的应变 波，称为“声频支振动”。 特点： 1）频率较低，类似声波频率。 2）可认为相邻原子振动方向相同。
普朗克提出振子能量的量子化理论。质点的能量 都是以 hv 为最小单位.
式中,
＝普朗克常数，
＝普朗克常数， = 园频率。
根据麦克斯威—波尔兹曼分配定律可推导出， 在温度为T时，一个振子的平均能量为:
将上式中多项式展开各取前几项，化简得：在高温时，所以
即每个振子单向振动的总能量与经典理论一致。 由于1mol固体中有N个原子，每个原子的热振动自 由度是3，所以1mol固体的振动可看做3N个振子的 合成运动，则1mol固体的平均能量为：