T (t) a 2T (t)
0
设这一常数为-，则
X (x) 常数 X (x)
X (x) X (x) 0 T (t) a2T (t) 0
至此可以看出,利用分离变量法的条件是: 泛定方程必须是齐次的。否则（5）变成 方程 X (x)T (t) a2 X (x)T (t) f (x,t) ,不能写 出变量分离的形式（6）。
线性组合这些足够多的形式解
使之满足初始条件
从物理学知，乐器发出的声音，可以分解为各种不同频率的单音，每种 单音振动时所形成的正弦曲线，其振幅依赖于时间 t 。
为此，特解可表示为
u( x, t) A(t) sin x 的形式.
特点: u 中的变量 x , t
被形式上分离为
振幅-关于时间t
位相-关于坐标x
深圳大学电子科学与技术学院
§2.1 有界弦的自由振动
什么是分离变量法? 运用分离变量法所应该具备的条件?
如何应用分离变量法解定解问题?
有界弦的自由振动: 弦长度为L,两端固定,任意
初始位移,任意初始速度。定解问题为:
2u
t
2
a2
2u x2
,
0 x L,t 0
泛定方程
(1)
u |x0 0 , u |xL 0 , t 0
深圳大学电子科学与技术学院
分离变量：
设方程（1）有分离变量解： u(x,t) X (x)T (t) （4）
代入方程（1）： X (x)T (t) a 2 X (x)T (t)
（5）
X (x) T (t)
X (x) a 2T (t)
（6）
两边对x求导数： d dx
X (x) X (x)
d dx
深圳大学电子科学与技术学院
将边界条件（2）代入形式解（4）： X (0)T (t) 0, X (L)T (t) 0,
由于T (t) 0,否则 u(x,t) 0 (平庸解,无实际意义),故
X (0) X (L) 0
（7）
这样空间函数 X (x) 构成下列常微分方程的边值问题:
X (x) X (x) 0
边界条件 (2)
u
|t
0
(
x)
,
u (x) ,
t t 0
0 x L
初始条件
(3)
主导思想：
深圳大学电子科学与技术学院
在讨论常系数、线性、齐次常微分方程的初值问题时，
求出足够多的形式解
常微分方程——不但含有未知函数，而且 还含有未知函数的导数，且自变量只有一 个，称之为常微分方程。
线性迭加这些足够多的形式解 使之满足初始条件
深圳大学电子科学与技术学院
物理学、工程技术领域的许多问题 ，都可以归结为偏微分方程的
定解问题。
偏微分方程 定解条件
求满足它们的解（定解问题）
在微积分学中:
微分 多元函数的
(转化为)
积分
微分 一元函数的
积分
分离变量法:
偏微分方程 (定解问题)
(转化为)
常微分方程的求解
深圳大学电子科学与技术学院
基本思想:将一个多元函数的偏微分方程转化 为几个单元函数的常微分方程
u(x, y, z,t) X (x)Y ( y)Z(z)T (t)
Lux, y, z,t 0
L x X x 0 L yY y 0
L z Zz 0 LtT t 0
基本问题:将二元的偏微分方程转化为空间和
时间的常微分方程,比如
u(x,t) X (x)T (t)
Lu x,t 0
Lx X (x) 0 LtT (t) 0
深圳大学电子科学与技术学院
第二章：分离变量法
参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
深圳大学 电子科学与技术学院
杜戈果
分离变量法提要:
深圳大学电子科学与技术学院
• 有界弦的自由振动 • 有限长杆上的热传导 • 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 • 非齐次方程的解法 • 非齐次边界条件的处理 • 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论
线性——未知函数，以及未知函数的导数 都是一次幂，称之为线性。
通解——一般地讲，一阶常微分方程含有 一个任意常数的解，称之为通解。
特解——确定了任意常数的解，称之为特 解。一般来说，当初始条件给定之后，满 足初始条件的特解只有一个。
启发：
深圳大学电子科学与技术学院
求出足够多的, 满足边界条件的, 具有变量分离形式的形式解。
X (0) X (L) 0
（8）
至此可以看出,利用分离变量法的条件是:边界条件必须是齐 次的。否则X (0)T (t) f，不能写出关于空间函数 X(x)单独的 边界条件（7），不能构成定解问题（8）。
以下的任务：
X (x) X (x) 0
X (0) X (L) 0
深圳大学电子科学与技术学院
深圳大学电子科学与技术学院
(12)
这是一个关于A, B的线性齐次方程组，它有 非零解的必要充分条件是系数行列式为零：
1
1
0
exp(kL) exp(kL)
即
exp(kL) exp(kL) 0
上式在k=0(即=0)条件下成立，但在现在的 <0
情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解
即 A B 0 X (x) 0
由(10)得 A B 0 （平庸解:X(x)=0）
2. 0: 方程(9)的通解为
设k
X (x) Aexp(kx) B exp(kx)
(11)
为了满足边界条件(10), (11)必须给出
AB 0 Aexp( kL) B exp( kL) 0
AB 0 Aexp( kL) B exp( kL) 0
确定取何值时 ，方程 X ( x) X ( x) 0 有满足条件
——本征值
X (0) X (L) 0 的非零解；
求出这个非零解 X ( x)
本征值 问题
本征函数
下面求解边值问题：
深圳大学电子科学与技术学院
X (x) X (x) 0 (9)
X (0) X (L) 0 (10)
1. 0 ：方程(9)的通解为 X (x) A Bx
深圳大学电子科学与技术学院
X (x) X (x) 0 (9)
深圳大学电子科学与技术学院
definite condition 定解条件
initial condition
boundary condition
definite solution problem
非齐次泛定方程: Nonhomogencous Universal Definite Equation

Method of separation of variables:分离变量法