3.3.2可操纵度 s
对于可操纵的标准轮，通过改变操纵角，可 间接改变机器人的姿态。
• 3.3.2 活动性的程度
活动性表示机器人在环境中直接运动的能力。 限制活动性的基本约束就是加在轮子上的滑动约 束。 滑动约束如前所示为：
在数学上， C 1 ( s ) 的零空间是空间N，使得 对任何N中的向量n， C 1 ( s ) n 0 。为了满足约 束，运动向量 R ( ) I 必须属于投影矩阵 C 1 ( s ) 的零空间。若遵守运动学约束，则机器人的运 动必定总是在该空间N内。 在几何上，利用机 器人的瞬时转动中心，可以同时说明运动学的 约束。
小结：对于小脚轮、瑞典轮和球形轮，由于其内 部的自由度，并未对机器人的运动施加实质上的 约束，即机器人可在全局参考框架下自由运动。 也就是说，只有固定标准轮和可操纵标准轮会对 机器人的运动施加约束。
3.2.4 机器人运动学约束
给定一个具有M个轮子的机器人， 假定机器 人总共有N个标准轮，由Nf个固定标准轮和Ns个 可操纵标准轮组成。βs(t)表示可操纵标准轮的可 变操纵角。βf表示固定标准轮的方向。
将上式求逆，得到特定的差动驱动机器人的运动学方程：
1 0 l 1 0 l 0 1 0
1 J2 1 R ( ) 0
I R ( )

1
1 2 0 1 2l
1 2 0 1 2l
0 J 1 2 0 0
• 瞬时转动中心 ICR （instantaneous center of rotation）
在任何给定时刻，轮子必定沿着半径为R的 某个圆瞬时的运动，使得那个圆的中心处在零运 动直线上，该中心称为瞬时转动中心。它可以位 于沿零运动直线的任何地方。
•
要使机器人运动存在一个单独的解，必须有 一个单独的ICR，即所有的零运动直线在一个单 独点相交。 • ICR的几何特性显示了机器人的活动性是机 器人运动上的独立约束数目的函数而不是轮子数 目的函数。 • 独立的滑动约束的数目可用 C 1 ( s ) 的秩来描述
举例：
假定机器人位于θ＝π/2，r＝1，l＝1，各 轮转速分别为4和2，则机器人在全局参考框 架中的速度为：
x 0 1 0 . y 1 0 0 . 0 1 1
.

.
I
3 0 0 3 1 1
3.2.3 轮子运动学约束
两点假设： 轮子的平面总是和地面保持垂直，并且在任何时 候，轮子和地面之间只有一个单独的接触点。 该接触点无滑动，即只存在纯滚动。
两个约束： 轮子平面的滚动约束。 垂直于轮子平面的滑动约束。
固定标准轮和它的参数
固定标准轮的运动学约束
固定标准轮A的位置用机器人局部参考框架 下的极坐标（ l ，α）来表示。轮子平面相对于底 盘的角度用β表示，该角度为固定值。具有半径r 的轮子在轮子平面内可自由转动。
• 矩阵 C ( ) 零空间的维数（dim N）是通过改变轮 子的速度，可以立即操纵机器人底盘的自由度数 目的一个度量。
1 s
对于一个差动驱动的机器人底盘：
ra n k [ C 1 ( s )] 1和 m ＝ 2
简单的通过操纵轮子的速度，即可控制方向 的变化率又可控制向前/向后的速度。ICR被限制 在位于从它的轮子水平轴扩展的无限直线上。 问题：自行车的底盘、由全向轮组成的机器 人底盘？
2 . x 3 . 4 y 3 . 7 3
I R ( ) J 1 f J 2

1
1


.
I
• 3.3移动机器人的机动性
机器人可操纵的总自由度，包括通过改变轮 子的速度，机器人直接操纵的自由度（活动性） 和通过改变操纵的配置和运动，间接操纵的自由 度（可操纵度）两个方面。
为了根据分量的移动描述机器人的移动，需 要将全局参考架下的运动映射到局部参考框架下 的运动。该映射可由正交旋转矩阵来完成。

R
R ( )
I
其中：
举例：
与全局参考框架并排的机器人
• 给定在全局参考框架下某个速度 ( x , y , ) ，我们 可以计算沿机器人局部参考框架轴XR和YR的运动 分量。
(1 / 2 ) r 1 (1 / 2 ) r 2 0 r 1 r 2 2l 2l

I
R ( )
1
（3）
• 其中：
R ( )
1
co s sin 0 sin co s 0 0 0 1
滚动约束：
滑动约束：
• 上述表达式对单个轮子的滚动和滑动约束具有强 的相似性，但矩阵代替了单个值，因此把全部轮 子的约束都考虑进去了， J ( ) 表示一个投影矩 阵，它将机器人局部参考框架下的运动投影到沿 着各个轮子平面上的运动。 C ( ) 也表示一个投 影矩阵，它将机器人局部参考框架下的运动投影 到各个轮子的法平面内。
瑞典轮运动学约束
瑞典轮和它的参数
瑞典轮的滚动和滑动约束方程为：
•90度瑞典轮时，滚动方程简化为固定标准轮的滚动约束。但由 于滚柱，正交于轮子平面没有滑动约束。改变主动轮的转速可 以产生任何期望的运动向量以满足滚动约束方程，所以轮子是 全向的。 •0度瑞典轮时，滚柱有一个平行于主轮旋转轴的转动轴。若将 该值代入滚动约束方程，则得到的却是固定标准轮的滑动约束 方程，即瑞典轮的滚动约束消失（主轮不需要旋转）。
J1 ( s )
和 C 1 ( s ) 分别简化为 J 1 f
和 C1 f
首先辨识各轮α和β的值。右轮α＝－π/2， β＝ π； 左轮α＝π/2，β＝ 0。由于，两个标准轮是平行的，所以，只有一个独立的滑 动约束方程总的运动约束方程如式：
1 0 l 1 0 l R ( ) I J 2 0 0 1 0
在全局参考框架下，机器人沿着y轴，以速度 1旋转的同时以速度3瞬时的移动。另外，机器人 沿x轴的速度为零。 给定各轮的速度，用运动学建模（各轮对运 动的贡献）的方法，可提供有关机器人移动的信 息。然而，我们希望，对于所有机器人的地盘结 构，要确定机器人可能运动的空间。所以需要进 一步描述各轮加到机器人运动上的约束。
固定标准轮约束示意图
由于所有在方程中的其他参数α、β等均是依 据机器人的局部参考框架，所以必须将全局参考 框架下的运动变换到机器人局部参考框架内的运 动。 固定标准轮的滚动和滑动约束方程：
（1）
（2）
举例：
假定轮A处在一个位置使得α＝90，β＝0，如果 θ＝0，那么滑动约束方程（2）可简化为：
第三章移动机器人运动学(Mobile Robot Kinematics)
3.1引言
运动学是对机械系统如何运行的最基本 研究。
全局 参考 框架 和局 部参 考框 架 前向 运动 学模 型
运动 学约 束
机动 性
运动 控制
3.2 运动学模型和约束 为整个机器人运动推导一个模型，是 一个由底向上的过程。我们必须用相对清 晰和一致的参考框架来表达各轮的力和约 束，由于移动机器人的独立和移动本质， 需要在全局和局部参考框架之间有一个清 楚的映射。



3.2.2 前向运动学模型 给定机器人的几何 特征和它的轮子速度， 机器人如何运动？即 前向运动学模型。 该差动机器人有2 个轮子，半径为r，给 定中心处为两轮之间 在全局参考框架中差动驱动的机器人 的点P，各轮距P的距 离为l。 . x 给定r,l,θ和各轮 . . . 的转速，前向运动学 . I y f (l , r , , 1 , 2 ) 模型会预测全局参考 框架中机器人的总速 . 度：
注：对于简单的差动驱动情况，上式展示了轮子滚动和滑动约束的联合描述了运动学的 行为。另外，上式与图3.1所对应的运动学模型表示完全一致。
一个有3个90度瑞典轮的全向机器人，所有 轮子均对称安装。机器人的局部参考框架和全局 参考框架是一致的，即夹角为0。如果轮1，2，3 分别以速度4，1，2旋转，那么整个机器人的最 终运动会是什么样呢？

建模策略：首先计算在局部参考框架下各轮对 机器人运动的贡献，然后再将其影射到全局参 考框架下。 • 首先，考虑在+XR方向上各轮的转动速度对点P 的平移速度的贡献。 计算如果一轮旋转，而另一轮无贡献且不 动，则点P的平移速度为
x r 1 x r 2 (1 / 2 ) r 1 (1 / 2 ) r 2
• 一般地，对于一个安装有零个或多个标准轮的机 器人：
0 ra n k [ C 1 ( s )] 3
秩等于零：在这种情况下，机器人未安装标准轮 秩等于3：机器人在任何方向是完全受约束的， 它将不可能在平面中运动。
• 活动性程度 m：
m dim N [ C 1 ( s )] 3 rank [ C 1 ( s )]
1 0 1 0 0 0
. . x x 0 0 . . 1 0 y 0 1 0 y 0 . 0 1 .
这里限定沿YI的运动分量为零，由于YR 和YI在本例中平形，所以轮子不会侧向 滑动。如果不是特殊情况，则会形成全局参考框架下的轨迹（速度）约束方程。
可操纵标准轮的运动学约束
可操纵标准轮和它的参数
可操纵的标准轮的滚动和滑动约束方程如下：
式中β ＝β(t)。
小脚轮运动学约束
小脚轮和它的参数
小脚轮的滚动和滑动约束方程：
上式表明：任何正交于轮子平面的运动必须被一个等效的且相 反的小脚轮操纵运动量所平衡，这对小脚轮的成功是至关重要 的，因为通过设置操纵量，任意的横向运动是可以被接受的 （即使得约束被满足）。所以只带有小脚轮的机器人可按任意 的速度在可能的机器人运动空间中运动，我们称此系统为全向 的。