“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录
姓名：朱月学号：20140702057t 专业：机械工程类别：学术
上课时间：2014 年9月至2014年12 月
考生成绩：
阅卷评语：
阅卷教师(签名)
相关变量的独立变换
摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已
越来越普遍。
在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。
本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。
正文
一、问题描述
在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。
但是实际中，各元素间关于应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。
对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。
二、方法简述
设系统的基本变量为),,(21n x x x X ，⋯⋯，各变量之间相关，则随机变量x 的
n 维正态概率密度函数为[1]
)1()()(21exp ||2()(1
2
12
⎭
⎬⎫--⎩⎨⎧-=---X X T X X n
X C X C X f μμπ）
式中
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=2321232212131212
),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21n
X n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ
称为随机变量X 的协方差矩阵。
矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变
量j x 的协方差，|C X |是协方差矩阵的行列式，1
-X C 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，X
μ及
)X X μ-（是n 维列向量 ⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧--=-⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111,
,
X
显然，当n=1时，有[]
[]
2122X /1,||,σσσ===-X X C C C 即变为以为正态
分布的概率密度函数。
式（1）定义的n 维正态概率密度函数，必然存在一个正交矩阵A ，使对于n 维随机变量),,,(21n y y y Y 有
⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧⨯=+∑=-
-
n i i i i n n
X x y AY f 12
1212
21-exp )
()2()(λλλλπμ
式中n 21,,λλλ 是矩阵X C 的特征值，A 为正交矩阵，所以可以将相关的n 维随机变量),,,(21n x x x X ⋯⋯变换为独立的n 维随机变量),,(21n y y y Y ，⋯⋯。
具体过程如下：
令
X A Y T =
式中A 的列向量等于X C 的特征向量。
Y 的协方差矩阵为一对角矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==n X T A C A λλ00C 1
Y 随机变量),,(21n y y y Y ，⋯⋯的均值可以由下式求出 )()(X E A Y E T = 三、具体应用举例
如图1所示的减速器为一由电机驱动的单级直齿圆柱齿轮减速器。
已知其传递功率P 为随机变量并服从正态分布，P~N （6.26,0.626）kW ，小齿轮转速n 1=970r ·min -1,传动比i=4.48，输出轴与联轴器相连。
大齿轮材料45钢正火处理，齿面硬度为167~217HBS ；小齿轮材料为45钢调质处理，齿面硬度为217~255HBS 。
设计要求：在满足齿轮强度可靠度R 大于等于0.99，轴的强度可靠度R 大于等于0.999的条件下，传动系统可靠度最大。
1．输入、输出轴强度的相关独立变换
先考察两个相关随机变量45钢正火屈服极限x 1和45钢调质屈服极限x 2。
其各值见表1，表2。
图1
表1 45钢调质屈服极限统计变量数值
其均值矢量为
221)5.512,5.379()](),([)(-∙==mm N x E x E X E
协方差矩阵为
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=25.121176.8176.8125.782),cov(),cov(2
12212
X 21
X X x x x x C σσ 由x C 的协方差可知其特征方程为
076.81)25.1211)(25.782(5.121176.8176
.8125.7822=---=--λλλ
λ
04.9411185.19932=+-λλ
解得两个根为6.122585.76721==λλ，
表2 45
钢正火屈服极限统计变量数值
从而可得特征向量为T
T
V V )9843.0,1764.0()1764.0,9843.0(21=-=，。
因此正
交矩阵A 为
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=9843.01764.01764.09843.0A 从而有不相关的随机变量),(Y 21y y =为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==219843.01764.01764.09843.0x x X A Y T
其期望值分别为
2
-22-1mm
4.571
5.5129843.05.3791764.0)(mm 1.2835.5121764.05.3799843.0)(∙=⨯+⨯=∙=⨯-⨯=N y E N y E
Y 的协方差矩阵为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=25.12110025
.78200y λλC
45钢调质处理，正火处理的屈服极限均值分别为512.5N ·mm -2和379.5N ·mm -2，它们是材料相同而热处理不同，因此，强度极限之间存在相关性。
屈服极限均值经独立变换后分别为571.4N ·mm -2和283.1N ·mm -2。
同理可求大、小齿轮接触、弯曲疲劳极限，在此不再赘述。
后面求齿轮一些强度值不再与矩阵相关，在此亦不再讨论。
参考资料
[1]孔志礼,陈梁玉.实用机械可靠性设计理论与方法[M].北京：科学出版社.2003,07。