x
O
1
n2
102
202
402
外推
k(次) 152 542
1985
694
T(秒) 0.219 3.187
47.89
4.344
误差 0.0028 7.1e-004 1.76e-004 6.52e-006
课件
1177/18
体积或表面积计算
P3
P2
V4
1 6
x1 x2
y1 y2
z1 z2
x3 y3 z3
P1
一阶向前差商
f(a)f(ah)f(a)O (h) h
f( a h ) f( a ) h f( a ) h 2f( a ) h 3f(3 )( a ) O ( h 4 ) 2 3 !
一阶向后差商
f(a)f(a)f(ah)O (h) h
课件
1100/18
f(a h )f(a ) h f(a ) h 2f(a ) h 3f(3 )(a )
与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交，即
1
1wn1(x)P(x)dx0
则, wn+1(x)的所有零点x0, x1 ,······, xn 是Gauss点
证明: 设f (x)是任意(2n+1)次多项式 , 由多项式除法
课件
44/18
f(x ) w n 1 (x )P (x ) Q (x ) 其中,P(x) ,Q(x) 均为n次多项式. 两端积分，得
2h
G (h ) f(x )1 h 22 h 4
G ( h /2 ) f ( x ) 1 h 2 /4 2 h 4 /1 6
4G(h/2)G(h) 3
f(x)32h4/4
Gm(h)4mGm14(h2m)1Gm1(h)
f(x ) G m (h ) O (h 2 (m 1 ))
课件
y0= ( y1 + y2 + y3 + y4 )/ 4
z 0= ( z1 + z2 + z3 + zx4 )/ 4
O
课件
1188/18
1x1x0
x1x0
1x1x0
x1x0
两点Gauss公式
1 f(x)d xf(1)f(1)
1
33
课件
66/18
Legendre多项式递推式
p0 1, p1 x,
2n1
n
pn1 n1 xpnn1pn1
p2p(3x()x)12(1 2 3x(5 2x13)3xp)3(x0)12(5x33x)
x0,2
1
1
f(x)dx Q(x)dx
1
1
构造插值型求积公式,有
1
n
Q(x)dx
1
AkQ(xk)
k0
其中,
1
Ak 1lk(x)dx
插值结点为wn+1(x)的零点
由于 Q(xk)= Q(xk)+wk+1(xk)P(xk) = f (xk)
所以
1
n
f(x)dx
1
Akf(xk)
k0
课件
55/18
例
f
(x0)
1 [3 2h
f
(x0)
4
f
(x1)
f
(x2)]
f
(x1)
1 [ 2h
f
(x0)
f
(x2)]
f
(x2)
1[ 2h
f
(x0)
4
f
(x1)
3
f
(x2
)]l0(ຫໍສະໝຸດ x)1 h2l1(
x)
2 h2
l2( x)
1 h2
f(x)f(x0)2fh (2 x1)f(x2)
课件
1144/18
外推算法 G (h)1[f(xh)f(xh)]
课件
88/18
例.测得一个运动物体的距离D(t)数据如下
t
8.0 9.0 10.0 11.0 12.0
D(t) 17.45 21.46 25.75 30.30 35.08
用数值微分求速率v(10)
40
35
30
25
20
15
8
9
10
11
12
课件
99/18
Tylor展开 方法
f( a h ) f( a ) h f( a ) h 2f( a ) h 3f(3 )( a ) O ( h 4 ) 2 3 !
《数值分析》 22
Gauss型数值求积公式 正交多项式及其零点 数值微分方法 数值积分与数值微分应用
课件
1
高斯型数值求积公式
1100
8
考虑两点插值型求积公式
6
5
4
1
1f(x)d xA 0f(x0)A 1f(x 1)
2
0 000
11
22
33
44
55
为使代数精度尽可能高,取 f(x)=1, x, x2, x3
2
3 !
f(a h )f(a ) h f(a ) h 2f(a ) h 3f(3 )(a )
2
3 !
f(a h ) f(a h ) 2 h f(a ) h 3f(3 )(a ) O (h 5 ) 3
一阶中心差商
f(a )f(ah )f(a h ) O (h 2) 2 h
二阶中心差商 f(a ) f(a h ) 2 f h ( 2 a ) f(a h ) O (h 2 )
xk = x0 + kh (k=0，1，2)
l
0
(
x
)
1 2h2
(x
x1 )(
x
x2)
l
1
(
x)
1 h2
(
x
x 0 )(
x
x2
)
l
2
(
x
)
1 2h2
(x
x 0 )( x
x1 )
l0(x)2x(2xh12x2)
l1(x)2x(h x20x2)
l2(x)2x(2xh02x1)
课件
1133/18
x1 y1 z1
x1
y1
z1
x2 y2 z2x2x1 y2y1 z2x1O1P (P 1P 2P 1P 3)
x3 y3 z3 x3x1 y3y1 z3z1
O
1 x0
y0
z0
P3 P2
V5
2
x3
x1
y3 y1
z3 z1
P4
x4 x2 y4 y2 z4 z2
P1
x 0= ( x1 + x2 + x3 + x4 )/ 4
证明多项式
w2(x)
x2
1 3
是[–1,1]上正交多项式.
证: 显然
1
1w2(x)dx0
1
x
1
w2(x)d
x0
得Gauss点 插值公式:
x0
1, 3
x1
1 3
f(x)x x 1 1 x x 0f(x0)x x 1 x x 0 0f(x1)
1 x1xdx 2x1 1 1 xx0 dx2x0 1
1 f(x)d xf(1)f(1)
1
33
对于[a, b]区间上的定积分,构造变换
x(t)batba 22
t∈[-1, 1]
bf(x )d x b a1f(b at b a )dt
a
2 1 2 2
bf(x )d x b a [f( b a b a ) f(b a b a )]
a
2 23 2 23 2
课件
1111/18
隐式方法:
设 xk= a + k h ,( k =0,1,···,n) 值
f(x k )f(x k 1 ) 2 h f(x k 1 ) h 6 2f(3 )(x k ) O (h 4 ) f(3 )(x k ) f(x k 1 ) 2 fh ( 2 x k ) f(x k 1 ) O (h 2 )
1sixnd x1si0n .5(t1)dt
0x
1 t1
取
t0
1 3
0.57735
1
t1
0.57735 3
1sixn d x si0 .5 n (t0 1 )si0 .5 n (t1 1 )
0x
t0 1
t1 1
= 0.9460411
MATLAB函数: sinint(1)=0.946083070367183
1155/18
拉普拉斯方程边值问题
y
uxxuyy 0, 0 x, y1 1 u(0, y)u(x,0)u(x,1)0
u(1, y)si ny
xi = i h，( i = 0，1，…，n) yj = j h，(j = 0，1，…，n)
O 取 h = 1/n
[ x 2u 2]i,ju i 1 ,j2 h u 2 iju i 1 ,jO (h 2)
3 0.7745067 5
x1 0
三点Gauss数值求积公式
1
f (x)dx
1
0 .5f 5 ( 0 .7 5) 7 6 0 .8 4 f 8 ( 0 5 ) 8 0 .59 f 5 ( 0 .7 5 ) 7 6
课件
77/18
例.用两点Gauss公式计算
1 sin x
0 x dx
解:作变换 x = 0.5( t + 1 ), 则
课件
33/18
定义 如果求积结点x0, x1,······,xn,使插值型求积公式
1
n
f(x)dx