1．对 lim n n a A →∞= 的表述错误的是 ( C )A. 0ε∀>, ∃ N N +∈, 使得对所有 n N ≥ 的 n N +∈, 都有||n a A -<; B. 01ε∀<<, ∃N N +∈, 使得对所有 n N ≥ 的 n N +∈, 都有 2||n a A ε-<; C. 0ε∀>, ∃ N N +∈, 使得对所有 n N ≥ 的 n N +∈, 都有||n a A -<; D. N k +∀∈, ∃ N N +∈, 使得对所有 n N ≥ 的 n N +∈, 都有 1||n a A k-<. 2. 设函数 21sin ,0;()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则 ()f x 在 0x = 处 ( C ) A. 不连续; B. 连续但不可导;C. 连续且可导;D. 导函数连续.3. 设221(),43x f x x x -=-+ 则（ B ） A. 1x = 是 ()f x 的跳跃间断点； B. 1x = 是 ()f x 的可去间断点； C. 3x = 是 ()f x 的跳跃间断点； D. 3x = 是 ()f x 的可去间断点.4．下列命题中正确的是 ( D )A. 若在 (a, b) 内 '()0f x >, 则 ()f x 在 [a, b] 上单调递增；B ．若 ()f x 在 (a, b) 内单调增加且可导, 则在 (a, b) 内必有 '()0f x >. C. 若 '()0f x >, 则必有 ()0f x >.D. 若函数 ()f x 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内 '()0f x ≥, 且'()f x 至多有有限多个零点, 则 ()f x 在 [a, b] 上单调增加.5. 下列关于极值叙述正确的是 ( C ).A. 若 0'()0f x =, 则 0x 为 ()f x 的极值点. B ．若 0x 为()f x 的极值点, 则 0'()0f x =. C. ()f x 在 (a, b) 内的极小值可能大于极大值.D. 若 ()f x 在 0x 取得极大值, 则存在 0x 的某邻域, 使得在该邻域内,()f x 在 0x 左侧单调增加, 右侧单调减少.6. 下列各式中正确的是 ( B ).A.'(3)(3)f x dx f x C =+⎰; B.1'(3)(3)3f x dx f x C =+⎰; C. '(3)3(3)f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰; D. '1(3)(3)3f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰.二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1. limn →∞= 0 .2. 设xy xe y +=12，则=x dxdy =12. 3. 11lim sin sin x x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭= 1 .4. 设()x f x xe =, 写出它带 Peano 型余项的三阶麦克劳林公式2331()()2f x x x x o x =+++.5. 100d sin ()d d x x t t x -⎰=100sin x 6.2sin sin cos x dx x x π=+⎰4π.三、计算题（共8小题，每小题5分，共40分）1. 222111lim 2n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭解：由于22222221112n n n n n n n n n n πππππ⎛⎫<+++< ⎪+++++⎝⎭ ( 2 分)且221lim lim 11n n n n n n ππ→∞→∞==++, 2221lim lim 11n n n n n ππ→∞→∞==++, 由夹逼定理可知222111lim 12n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭( 3 分)2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 203020tan lim tan 11lim x x x x x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→解 ( 2 分) 22031sec lim x x x -=→ 313tan lim 220==→xx x( 3 分) 3.20lim(1sin x x e x →+解：由于2112x - (0x →) 22lim(1sin →+x xx e x22sin 1202lim 2→→===x x e xx x x eee( 5 分)4. 1lim 1x x x e x →∞⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：令 1t x=, 则 11200ln(1)1(1)1lim 1lim lim(1)xttx t t tt t e t x e t x t t →∞→→-+⎡⎤+-⎛⎫++-==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦( 2 分)=2011(1)1lim 2t t te t →-++=211lim2(1)2t e e t →-=-+ ( 3 分)5. 方程 ⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定 y 为 x 的函数，求 dx dy与 22dx y d . 解：,sin )()(t t t x t y dx dy =''= ( 2 分) .sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dxy d +=''= ( 3 分)6. arctan d xxe x e⎰ 解：2arctan d arctan 1x x x x xx x e e x e e e dx e e --=-++⎰⎰ ( 2 分) =22arctan (1)1xxxxe e e dx e--+-+⎰ =21arctan ln(1)2x x x e e t e C --+-++ ( 3 分)7.x解：242004|sin cos |d (cos sin )d (sin cos )d x x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰( 2 分)=424(sin cos )|(cos sin )|x x x x πππ++--=1) ( 3 分) 7.ln 0x ⎰解：令t =则 21ln(1)2x t =--, 21tdx dt t=-,2ln 2211)11t x dt dt t t ==-+--⎰( 2 分)=11ln ln(221t t t ⎛---=- +⎝ ( 3 分)四、解答题（共2小题，每小题6分，共12 分）1. 已知 (1, 3) 是曲线 32y x ax bx c =+++ 的拐点, 并且曲线在 2x =处有极值, 求出 ,,a b c 的值, 并画出此曲线的图形.解：由于 2'32y x ax b =++, ''62y x a =+, 由已知条件可得以下方程组131240620a b c a b a +++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得 a=-3, b=0, c=5. ( 2 分) 由于 2'36y x x =-, 令 '0y =, 解得 x=0, 2 由于''66y x =-, 解得 x=1.图形略. ( 2 分)2. 求抛物线 21y x =- 在 (0, 1) 内的一条切线, 使得它与两坐标轴和抛物线围成的图形面积最小.解：设切线过抛物线上的点 2(,1)M a a -, 切线方程是2(1)2()y a a x a --=-- ( 1 分)它与两坐标轴的交点分别是, 围成的面积22221(1)(1)21222430()(1)d a a a aS a x x ++=--=-⎰( 1 分) 则22214()(1)(31)aS a a a '=+⋅- ( 1 分) ()0,S a '=令 得到在 [0, 1] 上的唯一驻点 ( 1 分)当当 ( 1 分)且为最小点, 故所求切线方程是 433y x =-+ ( 1 分)五、证明题（共2题，每题6分，共12 分）1. 设)(x f 在区间]1,0[上连续，在区间)1,0(内可导，11(0)0, (1), 1,22f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭证明在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得()1='ξf证: ()(), () [0,1] 01F x f x x F x =-设 则 在 上连续，在（，）内可导， ( 1 分)1111111(1)(1)10,0, (2 ) 2222211()0. (1 )2F f F f F ξξ⎛⎫⎛⎫=-=-<=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭分由介值定理，，，使分1 (0)0 (0,)(0,1) ()0() 1.F F f ξξξξ=∃∈⊂''==又，由罗尔定理，，使，即 ( 2 分)2. 设 ()f x 在 [a, b] 上连续, 且单调增加, 证明:()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 212(,0),a aA +2(0,1)B a +a =,a <()0S a '<a >()0S a '>()[0,1],a S a =因此是在上的唯一极小点证: 设()()()2xxaa a x x sf s ds f s ds ϕ+=-⎰⎰ ( 1 分) 则1'()()()()22xaa x x xf x f x f s ds ϕ+=--⎰()()22x a x af x f ξ--=- (积分中值定理 (,)a x ξ∈)( 2 分)由于 ()f x 在 [a, b] 上单调增加, 从而 '()0x ϕ>, (,)x a b ∈, ( 1 分)又由于 ()0a ϕ=, ()x ϕ 在 [a, b] 上连续, 则()()0x a ϕϕ≥=, ( 1 分) 特别有()0b ϕ≥ 即()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰ ( 1 分)。